MODULES DONT UN NOMBRE EST RESTE QUADRATIQUE. I
Ce cas particulier traité, je dis que :
183. Le cas de a quelconque se ramène à celui de apremier, et à celui de ar=z — i .
En effet il suffît de se reporter au théorème du n° 179 : Le caractère quadratique d^un produit de facteurs est égal au produit des caractères quadratiques des facteurs. Or tout nombre positif est décomposable en un produit de facteurs pt*emîers; et tout nombre négatif en un produit de facteurs premiers, multiplié par — i .
184. Ca^ de a := — ï . — Ce cas est encore très facile à examiner.
Le nombre ( — i) est reste quadratique de tout module premier impair de la forme 4 A 4- i . Il est non-reste des modules premiers de la forme 4 A — i .
Cela résulte immédiatement de ce que
est égal à i si /? est de la forme 4/^ + i ; et à — I si /? est de la forme /\h — i .
Reste à examiner le cas où a est un nombre premier quelconque, p étant toujours un nombre premier impair.
Nous démontrerons d*abord les lemmes suivants :
185. Lemme I. — a étant un nombre quelconque et p un nombre premier impair, non-diviseur de a, si Von divise par p les nombres
(i) la, ua, 3a, ..., a,
et que Von prenne les restes minima (n° 83) de ces divisions, les valeurs absolues de ces restes sont, dans un certain ordre,
les nombres i , q, . . . , ^"^1.
En effet, aucune division ne se fait exactement, car /? étant pre-
ÎI8 CHAP, tV* — RESTES QUÂnnirfQUE9. cniiQitiiEircss DU 5iC0?ril DEGliT
mîer ne peut divîser ha que s'il divise A oia a; or il ne divise pas*i par hypolhêse, et il ne divise pas h si /* esl plus petit que luL Deux resteâ sont difTérenls, car si l'on avait par exemple
ou en déduirait
ou
ha^h'a (niod/>),
(h — h')a = o (moà p),
ce qui est impossible puisque h — h^ est plus petit que p.
Non seulement deux de ces restes ne sont pas égaux, mais ils ne sont pas non plus égaux et de signes contraires; car si l'on avait
rh= — rfi', on en déduirait
ha -— — fi a (mod p), OU
(h-^ ft*}a = o (mQÛp)t
ce qui est encore impossible, puisque A ei A' étant des nombres de la suite 1,2, , . . ~^-^ ^^"'~ somme est au plus égale kp-*%*
Ceci posé, considérons les valeurs absolues des restes minima. Ces valeurs absolues sont au nombre de ^^^-j elles sont positives, elles sont au plus égales à -^-7- — * deux d^enlre elles sont diflcrentes; donc ce sont^ dans un certain ordre, les nombres
186. Lemme il — Le nombre des restes précédents qui sont négatifs est pair ou impair f suivant que a est reste quadratique de p ou non.
Autrement dit, soit pi le nombre de ces restes qui sont négaiifs; on a
