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230, FrarMons continues îrrégiilières. — Nous appellerons ainsi des fractions coolinues de la lormc

ou \a, à, - ,, A^ /, ï, p* . . .|,

dans laquelle les élémenisot, ^, .,. sont, à partir d'uû cerlain rang, tous positirs, les précédents a, 6, c, , . ., I n'étant pas tous pû§itifsj et pouvant tire négatifs ou nuls. En particulier^ nous appelons / le dernier élément qui n'est pas pasilif*

Il csl bien évident que les formules qui permettent de calculer les réduites de proche en proche s'appliquent à ces fractioiîs. Elles «^'appliqueraient d'ailleurs à des fractions continues Jao'^ lesquelles les éléments seraient des nombres quelconques, nou entiers*

231. Nous allons montrer qa on peut transformer une ft action continue irrêgalière en une Jracîion continue ordinaux régulière, de façon que, dans les deux fractions continues* tous les éléments, à partir d'un certain rang, soient tesmémes^

Pour cela, nous allons montrer que rirrégularilé qui va jusqu*i* rélénienl / peut être remontée d'un ou plusieurs éléments^ Jt'

DÉTELOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTINUES. l65

façon à obtenir une nouvelle fraction irrégulière dans laquelle le nombre des éléments irréguliers est plus petit que dans la fraction proposée. En recommençant cette opération sur la nouvelle fraction, puis sur la suivante, et ainsi de suite, on arrive de proche en proche à une fraction régulière.

Dans la démonstration, nous distinguerons plusieurs cas.