LV-quation devient

il ou

(o,H3 Vil )-f^ :==(!, Î88ii,

X2 est compris entre -a et .k En continnanl ce proc*^de on trouva* le ih'seloppemenl

DÉTELOPP. DES NOMBRES INCOMMENSURABLES EN FRACTIONS CONTINUES. l63

Il est bien évidenl que ce procédé réussit pour le développement en fraction continue d'une racine d'une équation quelconque. Les quotients incomplets successifs sont les parties entières de racines d'équations successives.

228. Théorème. — Si l'on a deux valeurs approchées, Vune par défaut x^j Vautre par excès x^^ d'un nombre incommensurable x^ les premiers quotients incomplets, communs aux développements en fractions continues de x^ et de X2t appar- ^ tiennent au développement en fraction continue de x.

Soient a% , «2, • . .<, a„ ces quotients incomplets communs, ai étant la partie entière de Xi et celle de X2 est aussi la partie entière de x qui est comprise entre x^ et X2'

«a étant la partie entière de et celle de est

' Xi — ai Xf — Cil

aussi la partie entière de qui est compris entre

* X — ai ^ ^ Xi — ai

et > etc.

Exemple :

Les quotients incomplets communs sont

qui donnent les réduites communes

1134 7 32 09 71 4o5 536 looi

Ces réduites appartiennent au développement de e en fraction continue.

229. Réduction en fraction continue d'un nombre négatif. — Ce que nous avons dit au n® 97 de la réduction en fraction contioue d'un nombre commensurable négatif s'applique à un nombre

j64 CHAP. y, — LES NOfliBRES iKœîlMKNSLRAiLlîS.

incominensurable. Par exemple ayant

« = an-