Dans les théorèmes précédents, on peut supposer certains

des exposants égaux à zéro ou à un, au moyen des définitions

suivantes :

ao- I,

a» — a, lesquelles ne contredisent aucun des théorèmes précédents.

19. Division des nombres entiers, — La division est l'opération inverse de la multiplication, comme la soustraction est l'opération inverse de l'addition.

La soustraction pouvait en effet se définir : Étant donnés la somme de deux nombres et l'un de ces nombres, trouver l'autre.

De même, on peut poser le pi*oblème suivant : Étant donnés le produit a de deux facteurs et l'un de ces facteurs égal à 6, trouver l'autre.

Mais l'opération ainsi définie n'est pas, en général, possible.

En effet, considérons les produits de b parles nombres entiers successifs, ou, comme on dit, les multiples de b.

Il peut arriver qu'il y en ait un égal à a, soit

(a) a = qb.

Alors le problème posé est possible, le nombre q répond à la question.

Mais, en général, a est compris entre deux multiples consécutifs de b, soient qb et {q-\-\)b, et le problème proposé est impossible.

On a alors (3) a — qh-^r,

r étant plus petit que 6.

L'égalité (a) est un cas particulier de l'égalité (3), r étant égal à zéro.

Généralisons donc la définition de la division et disons que, dans chaque cas, l'opération qui consiste à trouver q et r s'appelle division de a par b. Dans le cas où r =x o, on dit que la division se fait exactement, q est appelé le quotient exact de a

par b et se désigne par j •

Dans ie cas où r n'est pas nul, r s'appelle le reste de la division, q \& quotient à une unité près de a par b et se désigne

parE(l).

20. Extraction des racines, — Enfin l'extraction des racines est l'opération inverse de l'élévation aux puissances.

Étant donné un nombre a, cherchons un nombre qui, élevé à la m^^"^^ puissance, reproduise a.

L'opération ainsi définie est, en général, impossible. En effet, considérons les puissances m'*-'™" des nombres successifs : il peut arriver qu'il y en ait une égale à a. Soit

Alors le problème posé est possible, le nombre c répond à la question.

Mais, en général, a est compris entre les puissances m*^"®* de deux nombres consécutifs, soit c'" et (c-f-i)"', et le problème proposé est impossible.

On a alors

r étant plus petit que (c 4- i)'" — c"*.

L'égalité (4) est un cas particulier de l'égalité (5), r étant égal à zéro.