SLR LES NOMBRES PREMIERS
403. L'identité d'Euler, et les fonctions Ç(s) et analogues, ont donné naissance à de nombreux travaux ( ' ). Parmi les problèmes qui y sont i taitcs, se trouvent ceux relatifs à la façon dont les nombres premiers sont distribués dans la suite naturelle des nombres. Parmi les résultats obtenus se trouve celui -ci :
Quelque petit que soit le nombre positif k, le nombre des nombres premiers compris entre x et (i-+- k)x augmente indéfiniment avec x, démontré à peu près en même temp- par MM. Hadamard et de la Vallée- Poussin (*■).
4()i. Signalons en passant un travail d'une autre nature dû à Tchebyscheff et permettant de calculer une limite inférieure et. une limite supérieure du
une infinité de nombres premiers de chacune des deux formes. (Pendant que nous sommes sur ce point, disons que le théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique a été étendu par lui-même aux nombres représentés par une forme quadratique.)
(') Contentons-nous d'indiquer les principaux :
Lejeune-Dirichlet, Abhandlungen der Berliner Akademie (i83;) ou Vorlesungen iiber Zahlenlheorie, pnblié par Dedekind (3e édition, Brunswick, 1881).
Schlœmilcii, Zeitschrift fur Mathematik und Physik (1849).
Ibid. (i858).
Riemann, Ueber die Ânzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse (Monatsberichte der Berliner Akademie; novembre 1859, ou Œuvres compté tes).
Horwitz, Einige Eingeschaften der Dirichlet' schen Functionen /(—)—;
1 Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. XXVII, 1882).
A. Piltz, Ueber die Hàufigkeit der Primzahlen in arithmetischen Progressionen und iïber verwandte Gesetze. (Dissertation). Iéna, A. Neuenhahn ; 1884.
Lipschitz, Untersuchunu der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen {Journal de t relie, t. CV, 1889).
Il ldamard, Etude sur les propriétés des fonctions entières, et en particulier d'une fonction considérée par Biemann (Journal de Liouville, 1893).
Cahen, Sui lu fonction Ç(s) de Riemann, et sur des fonctions analogues 1 [nnales de l'École Normale supérieure, 189'!).
De i. a Vallée-Poussin, Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. XX, 2e partie,
Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction Ç(s), etc. (Bulletin de la Société Mathématique de France, 1. XXIV; 1896).
Von Mangoldt, Journal fur die reine und angewandtc Mathematik, 1. CXIV.
(-) J'ai donné (Annales de l'École Vormale supérieure, 189', ) uuc démonstration non rigoureuse mais très simple. Cette démonstration deviendrait rigoureuse si l'on parvenait à dén trer ce théorème énoncé par Riemann : Les racines
imaginaires de la fonction Ç(s) sont de la forme - -\-li, l étant réel.
32^ Non c.
nombre des nombres premiers compris entre deux nombres donnés a ei 6. Ce Travail se trouve reproduil dans le second Volume du Cours d'A lg< bn supérieure de Sei ret.
NOTE C
