SLR LES NOMBRES PREMIERS

On a, pour s > i,

On en déduit

d'où, en soustrayant membres à membres,

les termes » 1 1 1 second membre de cette égalité ne contenant plus au dénominateur que les nombres impairs.

Maintenant, de l'égalité (2), on déduit

CW(.-£U = 5 + 5 + ÎS+-.

et en retranchant membres à membres les égalités (2) et (3),

h^ termes du second membre ne contenant plus au dénominateur que les

1 bres non divisibles par 2 ni par 3.

En continuant ce procédé jusqu'au nombre premier y?, on obtient

les termes du second membre ne contenant plus, au dénominateur, que les nombres non divisibles par 2 ni par 3,... ni par/? (').

401. Ceci suffit pour démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée. Supposons, en effet, pour un moment, qu'il n'y ait qu'un nombi e limité de nombres premiers 1 ,■.»...., p. L'égalité (4) deviendrait alors

(') Rien d'ailleurs, dans le raisonnement précédent, n'oblige à supposer que l. - nombres premiers introduits dans le calcul aient été tous les nombres pnnoiers croissants successifs. Soient p,q, ...,rdes nombres premiers quelconques, différents deux à deux, on a

les termes du second membre ne contenant plus au dénominateur que des nombres non divisibles par /;, g, . .., r.

322 NOTE B

Mais cette égalité esl impossible, car s tendant vers i, le premiei membre croîtrait indéfiniment, tandis que le second tendrait vers

Donc la suite des nombres premiers est illimitée.

4.<)i. Reprenons l'égalité l \)\ supposons que p avance indéfiniment dans la série îles nombres premiers. Dans le second membre de l'égalité le terme

qui suit — est un terme qui, dans la série N — - > a un rang au moins égal

à p •+- 2. Donc le second membre tend vers i, quand/» croît indéfiniment. On obtient donc à la limite

le signe 7 sétendant à tous les nombres entiers, et le signe lia tou<

les nombres premiers.

C'est l'identité d'Euler ( ' ).

(') Voici une généralisation facile et qui mettra le lecteui sur la M>ie de la démonstration générale d<- Dirichlet :

I lonsidérons la série

mu ( ■ n -+- i)' 1* 3' 5' -j'

On démontre qu'elle est convergente pour s^ o. Pour ces valeurs des, elle représente une foncti le s que nous désignerons par / (■'O- En particulier

xco-f-

< >n démontre ensuite que

xo=n ^rn-nv-'.-^nr-Vv

le nombre premier 2 n'entranl \>.k dans le produit, p' désignant les nombres pre mi ers de la forme '\h 1, /» ceux d<- la forme '1 A — 1.

In comparant celte identité avec celle d'Euler, 00 arrive à démontrer qu'il y a