SUR LES FONCTIONS NIMÉHIQUES

ncnt est

le siirne 7 s'étendant à tous les diviseurs o de — — o

Or cette somme est nulle, à moins que

Il ne peut donc rester qu'un ternie dans la somme, le terme f{n).

Mais ce terme n'existe que si l'un des nombres (p, n) est égal à /i, c'est-à-dire que si p = n.

En résumé, la somme (i3) est nulle pour p < n, et elle est égale à f{n) pour p = n.

Il résulte de là que le déterminant (12) devient par la transformation indiquée, égal à

Si donc on appelle D„ le déterminant en question, on a Dn=/(/i)D„„ d'où, de proche en proche,

HT. Il existe un grand nombre d'autres formules, plus ou moins curieuses, sur les fonctions numériques. En voici par exemple une donl le lecteur trouvera facilement la démonstration :

Soit J'\ n ) une fonction numérique, g(n 1 sa dérivée suivant /<>tts les nombres, et h(n) la dérivée de g{ n) par rapport aux diviseurs. On a

Exemple. — Si li(n ) esl l'indicateur, on ;i

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>>') NOTE I

NOTE I