HOTE H

curieuse due à Smit

(p, q) désignanl le plus g rand commun diviseur de p et y. ei p (n) l'indicateur «le II .

Celte formule n'es! qu'un cas particulier de la suivante :

*[(ifi)] *[(i,a)] ... *[(i,n)]

<t>(n) étant l'intégrale suivant les diviseurs àef(n).

Pour démontrer cette formule, soient i . d n les diviseurs de n.

Remplaçons les éléments de la dernière colonne du déterminant par la somme obtenue en multipliant les éléments de la première colonne par

;j. ( — \ • ceux île la d"mc par p. ( - ] , • • ■ » ceux de la /*'""' par a ( - ) , et

ajoutant, tous les produit- relatif- aux éléments d'une même ligne. Cette transformation ne change pas la valeur du déterminant, puisque le

) des éléments de la dernière colonne du déterminant est

ruai ;"i I .

Mais alors l'élément de la /' ligne de la dernière colonne devient

(,3) ;,('ij <!>[,/,. l)]+|i(2) *[(/>, «*)]+...+ p-^j *[(p, 71)].

Remplaçons dans cette somme *[(/>, d)] par\/(8); lesigne^ s'éten-

danl à tous les diviseurs 8 de i p, d). Remarq is que ces nombres 8 sont

diviseurs de i p, n i. Nous obtenons ainsi une nouvelle somme.

Dans cette somme, réunissons les termes ent/'(8), 8 étant un certain diviseur de (/>, n ). Or pour que 8 soit un diviseur de i /'. rf) comme 8 est p. m hypothèse diviseur de /-. il suffit qu'il le soit de d. Les nombres </ tels que 8 soit diviseur de (/<. c?) sont donc les diviseurs de n qui sont multiples de 8. Ce sonl donc les nombres de la forme

i mi un ( I i n iseur de

Uors, si dans l'expressi t3) on réunit les termes en f( 8), le coeffi