On a

(a -+- bi) + (a'+///) = a + «'+(i + b ci -+- bi — ( a' -+- b ' i ) = a — a' -+- (b — b') i, (a -t- bi)(a' -f- b' i) = aa' — bb' -\- i ab'-{-ba')i.

Ainsi la somme, la différence, le produit de deux entier- imaginaires sont eux-mêmes des entiers imaginaires; el le même théorème s'étend sans peine à la somme ou au produit de plus de deux qombres.

i.*il). Mais il n'en est plus de même, en général, du quotient de deux entiers imaginaires.

On a, en effet,

a -i- bi aa' bb' bu' '— a// .

Le quotient de a -h bi par a '-f- b' i n'est donc un entier que si le> nombres entiers réels aa'-hbb' el ba' et ba' — ob' sont divisibles tous les deux par a'*-\- b'*; sinon le quotient de deux entiers imaginaires est une fract ion.

151. La quantité a1-\-b- s'appelle la norme du nombre a -\- bi (c'est le carré de la quantité connue en Ugèbre sous le nom de module). On \,,ii sans peine que la norme d'un produit est égale an produit des

normes des facteurs.

Il en résulte que pour qu'un nombre soil divisible par un autre, il faut que la norme du premier soit divisible par la norme du second. Mais i eue condition n'est pas suffisante. Les conditions nécessaires et suffisantes ont .'■i ('■ données plus haut .

i i Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum.