SIR LES NOMBRES ENTIERS IMAGINAIRES
A"r2. La définition de la norme s'étend aux nombres fractionnaires. Soit le nombre fractionnaire
a -4- bi
égal à
ll.l - /'//' Illl' — ///>' .
La norme de ce nombre est, par définition, la quantité
ad — l'Ii' - [ bd — ab
I ad — bb - bu — nb -
Elle est identiquement ésale à — j- , •
D'une façon générale, /a norme du quotient de deux nombres, entiers ou fractionnaires, est égale au produit des normes de ces nombres
153. Représentation géométrique des nombres imaginaires. — Le nombre a -h bi se représente par le point dont les coordonnées rectangulaires sont a et b. En particulier, les nombres entiers sont représentés par les sommets des carrés adjacents représentés dans la fig. i. Ces carrés
forment ce que nous appellerons un réseau carré, ayanl <>I comme base Si V esi le poinl qui représente un certain nombre, ce nombre -appelle
Vaffixe de A. La norme esl égale a < > \ .
i.'li. Poui additionner deux nombres qui sont les affixes de deux points A et B, il suffit de construire un contour polygonal OAC donl le premier
NOTl
côté soit OA, et dont le second AG soii égal, parallèle à OB et de même . Le poinl C esl l'affixe de la somme cherchi e. Il résulte de là que si A et C sont les af fixes de deux nombres, \< ! représente la norme de la différence entre ces deux nombres.
La règle qu'on vient de donner pour trouver la somme «le deux nombres ni sans peine à un nombre quelconque de nombres.
i.Yi. Nombres conjugués. — Les nombres a ■+■ ôtet a — bi sont dits conjugués. Les points \., h! {fig. 2), qui représentent deux nombres conjugués, sont symétriques par rapport à l'axe Ox. Les normes de deux nombres conjugués sont égales entre elles, et égales au produit de ces nombres.
La somme de deux nombres conjugués esl réelle.
156. Quotient et reste de la division de dru./; nombn s 1 ntiers. — Soient a -+- bi, c -t- di deux nombres entiers. Le quotient exact de a -+■ bi par c ■+- di n'est pas en général un nombre entier. Mais on peut, par analogie avec ce que l'on connaît sur les nombres réels, chercher un nombre q -+- ri appelé quotient, et un nombre s ■+- ti appelé reste, tels que
bi = (c -+- di )fq -+- ri) -+- (s •+- ti),
et tels de plus que la norme de s-^-ti soit /dus petite que la norme de c -+■ di.
Or l'équation (1 1 peut s'écrire
bi
di
di
D'après les conditions du problème, la nonne du nombre fractionnaire
. doit être plus petite que 1. La question revient donc à la suivante
-t- di
, . . . . a -t- hi .
Liant donne un nombre 1 /-actionnaire ,.■> trouver u/i nombre
c -+- dt
entier q -+- ri, tel que la différence
/dus petite que 1 .
bi
di
. — (q -t- 'i) ait une norme
Oi
bi ac lui
dl C--; d-
bc — ad
Il faut donc déterminer q et r, de façon que
lui / bc — ad
lid I bc —ad Y
Il -ul'lii pour cela de prendre pour q la valeur, à moins d'une demi-unité ac bd
■ 1 '"' I"1 11 ji 1 • ■
près, du nombre > et pour r, la valeur, .1 moins il une demi-unité
