SUR LES NOMBRES ENTIERS [MAGINAIRRS

affixes des sommets d'un réseau carré Q construit sur OA comme base, A étant l'affixe de a-\-bi. Construisons un autre réseau carré Q' formé de ci rrés el dont les côtés soient égaux et parallèles à ceux des précédents. (Le réseau Q' est représenté en pointillé sur la fig. 40 Soient P et P1 deux points situés de la même façon dans deux des carrés (G) et (C), du réseau Q' c'est-à-dire deux points qui viendraient à coïncider, si l'on transportait le carré ( C) parallèlement à lui-même sur le carré (C). Il est bien évident que le segment de droite PP' est égal et parallèle au segment joignant l'origine à un certain sommel E du premier réseau. Donc la différence des affixes des point- P et P' est un multiple de a -+- bi. Ces deux affixes sont donc congrues (mod a-hbi).

D'autre part, si l'on prend deux points dans un même carré du réseau Q', la droite qui les joint ne peul être égale et parallèle à un segment de droite joignant l'origine à un point du réseau Q. Les affixes de ces points ne peuvent donc être congrus i mod a H- bi).

Il \ a exception pour deux points qui seraient situés sur le périmètre d'un carré du réseau Q' aux deux extrémités d'une parallèle à un côté, ou pour deux sommets de ce carré.

Il résulte de là que si l'on construit un carré (C) sur une base p uallèle et égale à OA et que l'on considère le domaine formé par l'intérieur de ce carré, deux côtés consécutifs de carré, et le sommet intermédiaire il existe dans ce domaine un point dont l'affixe est congru [mod (a-hbi)] à un nombre quelconque et il n'en existe qu'un. Les affixes des points situés dans ce domaine forment donc le système complet cherché.

470. Quant au nombre de ces points il s'évalue de la façon suivante : Considérons le carré (C), et le réseau formé par les points qui représentent tous les nombres entiers. Supposons, pour simplifier, qu'aucun de ces points ne se trouve sur le périmètre du carré (C); ce qui est toujours possible, puisque le carré (C) peut être déplacé parallèlement à lui-même. Il faut alors compter combien il y a de ces points à l'intérieur du carré (C). Or on peul dire que le carré (C) est décomposé en carrés de côté t, en convenant que lorsqu'un carré de côté égal à i est incomplet, on complète la portion de ce carré limitée par un côté du carré (C), avec la portion d'un autre carré limitée par le côté' opposé.

Dans ces conditions, chacun des points dont on veut compter le nombre est un sommet appartenant à quatre carrés de côté égal à t. et d'autre part chaque carré de côté égal ■> i à quatre sommets; donc il y a autant de ces points que le carré (C) contient de carrés de côté égal à i. Or

la surface du carré (C) est égale à OA ou à as !>-. Donc il contient a'2 -h bcarrés de côté égal à i. C'esl le nombre cherché. Il est égal à la moine de a -f- bi.

471. Indicateur. — Parmi ces nombres, combien il y en a-t-il qui soient premiers à a ■+■ bil

NOTE I

Soient p -+- qi, p' ■+• q' i, . . . les facteurs premiers de a -+- bi (certains do cteu i s pouvant être réels I.

• Le nombre cherché est le nombre des points qui resteront dans le carré (C) après qu'on aura effacé, les points qui ont comme affixes des multiples de p~.->/i. puis ceux qui ont comme affixes des multiples de p' '/ i. et ainsi de suite.

Or lf- points qui ont comme affixes des multiples dep-i-qi sont les sommets de carrés de surface égale à p-^-q2- On voit donc, par un raisonnemenl analogue à relui qu'on a fait plus baut, que dans le ean

il \ .1 — ■ de ces point?. Quand nn le? a effacés, il reste dans le cari i

{ii--\-b-)[i — ) points.

Le raisonnement se poursuit comme au n° 71, et l'on trouve (a«H-6»)(i

pour le nombre cherché.

Mous poserons ce nombre égal à <\*(a -+- bi |.

Dans le cas où le nombre a -h bi est premier, le nombre précédent se réduit à

-472. Théorèmes de Fermât et d'Eiler. — La généralisation des théorèmes de Format et d'Euler aux nombres imaginaires est immédiate. Soit a-hbiun nombre quelconque et c-\-di un nombre premier avec lui, l'expression

(c + di)¥a+t>'1 — t est divisible pur a ■+■ bi.

Lorsque a -+- bi est premier, ce théorème devient le suivant :

Soit a bi un nombre premier, et c -+- di un nombre non divisiblt par a ■+■ bi, l'expression

est divisible par a -+- bi.

(c -+- di)a'

ïl'.'i. Théorème de Wilson. — a -t- bi étant un nombre premier, le produit ths ,,2 -ir b2 — i nombres mm divisibles par a-\-bi contenus dans le carré (G), augmenté de i. est divisible par a -+- bi.

Ces théorèmes se démontrent comme les théorèmes analogues sur les nombres entiers réels.

Nous arrêterons ici la théorie des entiers imaginaires de la forme a-\- bi. Le lecteur pourra chercher à étendre à ces nombres certains résultats de

la théorie des congruences et des restes quadratiques.

su; LES NOMBRES ENTIERS IMAGINAIRES. 365

Ali. Application à la restitution des congruences. — Comme nous I avons vu au n° 131 , si l'on se borne aux entiers réels, une congruence de degré r peut avoir moins de r racines. Ce résultat est complètement analogue à celui de l'Algèbre, car une équation à coefficients réels de degré r peut avoir moins de /• racines réelles.

Mais l'introduction, en Algèbre, des nombres imaginaires de la forme a-\-bi permet d'énoncer le théorème suivant: Une équation de degré r a r racines.

Il n'en est pas de même pour les congruences. L'introduction des uombres entiers imaginaires de la forme a -+- bi permet, il est vrai, d'attribuer des racines à des congruences qui n'en ont pas dans le domaine des entiers réels, mais ne suffit pas pour qu'une congruence de degré /• ail toujours /• racines.

Exemple. — Soit la congruence

x-= a ( mod p),

a étant un non-reste de p.

Cette congruence n'a pas de racine réelle.

Je suppose «l'abord que/» soit de la forme 4A-f-3, le nombre — i est un non-reste de p. Il en résulte que le nombre — a est un reste.

Soient alors a et — a les solutions de la congruence x- = — a (mod p); la congruence (5) admet les racines imaginaires -+- xi et — ou.

Mai* supposons maintenant que p soit un nombre premier de la forme j h — i : a étant encore un non-reste de/'.

Dans ces conditions, le nombre — a est également un non-reste, et la congruence n'a aucune racine. Supposons, en effet, qu'elle en ait une m — qi. On aurait

(m-hqi)-=i<z (mod/?) ou

Ceci exige que

2 nnj = o

ïinqi = a (mod/)).

(mot! p).

La seconde condition donne m ~ o ou q = o. Mais si m = o, la pie mière condition donne

<72 = — a (mod p),

si q = o, la première condition donne

I 7 i m-~ a (mod p).

Or le- congruences (6) ou (7) sont impossibles, puisque ni a. ni — a ne sont restes du nombre />.

IT.'I. On < -t alors conduit à introduire d'autres entiers que ceux de la

366 r»OTE i.

forme a -- bi. D'une façon générale, *"it

une équation irréductible de degré //>. Elle définit m nombres algébriques réels "H imaginaires, les nombres réels a'étanl autres que ceux définis au n" 240.

Si le premier coefficient de f(x) est égal à r, ces nombres algébriques -"ut <\\\- entiers.

Il esl facile de voir que a étanl un nombre algébrique entier, il en esl de même «Ire/ - h y . a el l> étant îles entiers réels

Mais la théorie de ces entiers ne peul pas, en général, se faire aussi simplement que celle des entiers imaginaires de la for a — bi. Kn particulier, l'algorithme du plus grand commun diviseur et ses conséquences, par exemple le théorème qu'un nombre n'est décomposable que d'une seule façon en facteurs premiers, ne s'appliquent pas immédiatement.

Exemple. — Soit un nombre a = isj't défini par la condition

On a

et cependant il e«t facile de constater que les nombres 3. 7, 1et 1 — ii\/5 sont premiers, c'est-à-dire n'admettent aucun facteur de la forme a -4- bi\/'<. diffèrent d'eux-mêmes ou d'eux- mêmes changés «le signe ou de ±1. On a donc ainsi deux produits de facteurs premiers qui sont égaux sans être ident iques.

47G. Si l'on se borne aux nombres entiers quadratiques imaginaires, , V-t-à-dire à ceux définis par une équation du second degré

où \<f — />"- est positif, "M démontre les résultats suivants : Pour que ces nombres donnent naissance à un algorithme analogue à celui

de la division et, par suite, à l'algorithme du plus grand commun diviseur,

il faut et il suffit que la quantité \q — pl soit plus petite que 12. On peul d'ailleurs, par une transformation simple, supposer p égal à 0

h 11 1 , de sorte que les nombres qui satisfont à la condition précédente sont

donnés par l'une des équal i"ii^

T-->r-\ = o, ar2-)-2 = o, x*-{-x-{- 1 =0,

S nient k et P les deux racines < l'une de ces équations a?*- px •+- q = o. L'ensemble des nombres a ôa, où a et b parcourent toutes les valeurs entières réelles possibles, est identique à celui «le- nombres a ftp. I. - deux nombres a •+■ ba. et a -t- b 3 sont dits conjugués.

SUR LES NOMBRES ENTIERS IMAGINAIRES. Mj~

La norme du nombre a -+- b% est le nombre a- — pab-\-qb-. Une unité est un nombre dont la norme est égale à i. Pour les nombres définis par les équations

il y a deux unités.

Pour les h bres définis par l'équation

' '--M = o, il y en a quatre.

Pour les nombres défini- par L'équation

il \ en a six.

Le lecteur pourra poursuivre la théorie <1>' ces nombres entiers complètement analogue à celle des nombres entiers de la forme a -+- bî.

477. Pour ce qui est des nombres algébriques en général, nous avons dit que les lois fondamentales de la divisibilité et de la décomposition en facteurs premiers des nombres réels ne s'y appliquaient pas immédiatement.

Cependant, Ruminer est parvenu à leur appliquer ces lois, et à rendre, par conséquent, leur théorie analogue à celle des entiers réels, par l'introduction de nouveaux nombres dits idéaux; mais nous n'entrerons pas dans la théorie de ces nombres (').

(') Dedekind, Sur la théorie des nombres entiers algébriques (Bulletin des Sciences mathématiques, i™ série, t. XI, cl i' série, t. I), et Supplément \l aux Vorlesungen iïber Zahlentheorie de Lejeune-Dirichlet, 4" édition; Braunschweig, 1894.