SI H LES NOMBRES ENTIERS IMAGINAIRES
bc — ad .....
inv-i, du nombre - • Dans ces conditions 1 expression (■>) a un.'
re a - > et.
valeur inférieure ou au plus égale à ( - ] -+- l-j > c'est-à-di
par conséquent inférieure à 1.
On voit d'ailleurs qu'il peut y avoir jusqu'à trois autres systèmes de valeurs Je q et de r répondant à la question.
bi
UiT. Géométriquement : Soit M le point qui représente — (fig 3);
il faut prendre pour q -+■ ri une valeur entière dont le point représentatif, A, soit à une distance de M plus petite que 1. Les seuls points pouvant
Fig. 3.
répondre à la question sont les sommets du carré dans lequel se trouve le
point M. Suivant la position du point M, il peut y avoir deux, trois ou
quativ de ces sommets qui conviennent.
A moins d'avertissement contraire, on prendra pour quotient q-hri,
celui dont il a été parlé plus haut . et qui est déterminé en général, excepté
, ., . "r bd bc — ad . . , ,
quand I un des deux nombres — — ût> - — rr ' ou tous les deux, sont de n c2-+- a- c'--t- d-
l.i forme ( h-\- - \ , h étant un entier. Ce quotient est l'affixe du sommet
du carré qui est le plus voisin de M.
D unités. — On dit qu'un nombre est une unité lorsqu'il divise tous les nombres entiers.
Dans la théorie des nombres entiers réels positifs il y a une seul.' unité, le nombre 1 .
Dans la théorie des nombres entiers, positifs ou négatifs, il 3 .1 deux uniii îs, I«s nombres -4- 1 et — 1.
Dans la théorie des nombres entiers imaginaires, pour qu'un nombre p-*rqi soit une unité, il faut, d'après ce qu'on a dit au n° fôl, que sa
NOTE I
norme pl -+- q* divise tous les entiers réels positifs: il faut donc qu'elle -•■ii égale à i .
■ Il faut, pour cela, que l'un des deux nombres /-. q soil nul, el l'autre i il .1 ± i. I ne peut donc \ avoir que quatre unités, à savoir
D'ailleurs les idenl ités
a -+- bi = (a — bi)i,
a -4- bi = ( — a — bi){ — i ).
a - bi = (b — ai \i,
a -+- bi = ( — b ■+■ ai)( — i )
montrent qu'effectivemeni toul nombre a l>i esl divisible par les nombres i . — i , -h i, — i. Ces derniers sonl donc des unités.
i.'i'J. Il résulte aussi de ce qui précède que, au point de vue de la divisibilité, les quatre nombres a -+- bi, — a — bi, b — ai, — b -+- ai ne sonl pas distincts.
Tout diviseur de l'un de ces quatre nombres est aussi diviseur de? trois autres. De même, tout multiple de l'un de ces quatre nombres est aussi multiple des trois autres. Vous appellerons ces quatre nombres, associt *.
Ces quatre nombres sonl représentés par quatre points A. \,. A \ sommets d'un carré de centre 0 (Jig.
'i(ii). En particulier, il existe toujours un de ces nombres situés dans le domaine limité par les bissectrices OD, OJ> de- angles xQy el rOy', OD' comprise, OD non comprise i fig. > >.
Autrement dit, il existe un de ces nombres dont la partie réelle est plus grande en valeur absolue que la partie imaginaire, ou au plus égale lorsque la partie imaginaire est négative.
Les nombres de ce domaine DOD' sonl deux à deux imaginaires conjugués, excepté ceux dont les affixes sont situés sur la droite OD', c'est à-dire ceux de la forme a — ai.
iiil. Remarque. - Si un nombre a-\-bi esl divisible par un nombre
r -+- r/i. le nombre a bi e-l di\ i-ible par c — di.
En particulier, -i un nombre réel a esl divisible par un nombre imagi n aire c -r- di, il esl aussi divisible par r — di.
162. Représentation géométrique des multiples d'un nombre. — Soit un nombre a + et dont l'affixe esl \.{fig. [).
Il esl d'abord facile de li'oiner les afli\e- île- nombre- de la forme
m(a — /u'i. m étant un entier réel. Ce -< 'n i le- point- situés -m la droite <>\ à des distances les uns des autre- égales à OA, l'un de cepoints étani ' >.
SIR LES NOMBRES ENTIERS IMAGINAIRES. 35g
Considérons maintenant le nombre i(a-\- bi)\ il a pour affixe le |>oint D
(OD = 0\ el kOD = i dr.). Les nombres de la forme pi(a -+- bi), p étant un entier réel, ont donc pour af fixes les points situés sur <»l>. .1 des distances les uns des autres égales à OD, l'un de ces points étant O.
Soit alors (m -+- pi)(a ■+■ bi) un multiple quelconque de a — bi.
On a
( m — pi | {a -f- bi l = m 1 a — bi \ — pu a — bi 1.
On a donc l'affixe M du nombre (m -h pi) (a -h bi) en prenant l'affixe B' du nombre /n(a -+- ôi), l'affixe G du nombre pi(a-h bi), et achevani le rectangle ' ■ < Ui'.M.
Il en résulte que les multiples de a-\- bi ont pour affixes les -<>mmets d'un réseau carré construit sur OA comme base (réseau dessine 1 11 trait plein dans la fig. \ ).
- nul commun diviseur. — La possibilité, étanl donnés deux nombres a-hbi, c-{-di, d'en trouver deux autres q -ri. s + // satisfaisant aux conditions
a ~ bi = (c — di 1 1 y - ri ) ■+■ s — ti, s7 -+- /2 <c*-hd*,
36o NOTE I.
permet de i onstituer un algorithme du plu- grand commun diviseur idenlique ii celui des nombres enti :rs réels.
mple. — Soient les deux nombres 67 — 691 el (> j — 60 1.
Leur plus grand commun diviseur esl 5 - ~i.
Tous les théorèmes démontrés dans les n°' 28 à 32 1 pour les
nombi es ent iers imaginai res.
164. Nombres premiers. — Un nombre premier esl un nombre qui n'esl divisible que parles quatre unités, ou par lui-même, ou par ses associés
Comme quatre nombres associés ne sont pas considérés comme distincts
au point de vue de la divisibilité, nous p Tons ne considérer que des
nombres premiers du domaine DOD' (n 160). <>n voit facilement que :
Tout nombre est dêcomposable en un produit de facteurs premiers multiplié par une unité.
De plus, la décomposition n'est possible que d'une seule manière, à condition de n'employer que des nombres premiers du domaine DOD'.
En effet, dans cette hypothèse, comme il n'j a pas de nombres premiers associés, un nombre premier ne peut en diviser un autre sans lui être identique. Le raisonnement fait au n° 3L pour la décomposition en facteurs premiers des nombres réel-, subsiste donc absolument.
Ces nombres premiers du domaine DOD' sont deux à deux imaginaires conjugués, excepté le nombre 1 — i, dont l'affixe est situé sur OD' (n° 460).
165. Il n'est pas difficile de déduire les nombres premiers imaginaires des nombres premiers réels. Voyons d'abord si les nombres premiers, parmi les nombres réels, sont encore premiers parmi les nombres imaginaires.
Je dis que la condition suffisante et nécessaire pour qu'un nombre /> premier parmi 1rs nombres réels, ne soit plus premier parmi h s nombres imaginaires, est que ce nombre soit décomposable en une
somme <le (leur carrés.
La condition est suffisante, car si l'on ;i
Mi eu de
'•(luit
// : il b' .
p = (a bi)(a — bi).
Donc/' n'est pas premier parmi les nombres imaginaires.
La 1 "inlition est nécessaire : en effet, -i p n'est pas premier, il est dé-
Si It LES NOMBRES ENTIERS IMAGINAIRES. 36l
composable en facteurs premiers nécessairement imaginaires; d'ailleurs d'après ce qu'on a «lit au n° 161, -'il j .1 dans la décomposition de /> un nombre imaginaire a — bi, différent de 1 — i, il y a nécessairement le conjugué " bi. Le nombre /> ne peut d'ailleurs contenir d'autre facteur premier que a ■+- bi et a — bi, car -il en contenait un autre c-\-di,p serait divisible par les nombres a h bi, c -+- di, (a -h bi) (c -\- di). Donc la moi nie de /-, c'est-à-dire /'-. serait divisible par les normes de ces trois nombres, c'est-à-dire par a2-+- b'-. c2-+- '/-, ( a--\- b-)(c2-{- d- l, ce qui ne peut être, car /<. étant premier parmi les nombres réels, le nombre/»2 n'admet que deux facteurs réels différen 1- de 1 , à savoir j> et />'-. On a donc
p = (a -1- bi)(a — bi ) = a2 — b-.
Si p admet le facteur premier 1 — i, le théorème est encore vrai, car /> étant divisible par 1 — i est aussi divisible par t-H i qui égale (1 — i)i, et l'on voit, comme à l'instant, que
p = (n- i) ( 1 — i) = i( 1 — iy = 2 = 1 2 -1- 1 2.
166. Conclusion. — On sait 1 n° 371) que les nombres premiers décomposable- en une somme de deux carrés sont les nombres premiers de la forme \h — 1 et le nombre 2. <>n a donc le résultat suivant :
Les nombres premiers réels de la forme ^h — 1 sont premiers parmi les nombres imaginaires. Les nombres premiers réels de la forme i // — 1 et le nombre 2 ne sont pas premiers parmi les nombres imaginaires, ils se décomposent en un produit de deux facteurs premiers, imaginaires conjugués.
Exemple :
i3 = s (3 H-arn 3 — li).
iliT. En traitant la question posée au 11 i65, nous avons trouvé denom lue- premiers imaginaires; nous venons, en effet, de voir que. p étant un nombre premier réel décomposable en une somme de deux cai <i- - b-. admet les deux facteurs a r-bi. a — bi. mai- ne peut en admettre d'autres : les nombres a — bi et a — bi sont donc premiers.
Je >li- qu'il n'y a pas d'autre nombre premier imaginaire.
En effet, soit a -t- bi un nombre premier imaginaire; a — bi l'est aussi; et il faut démontrer que a2-f-62 est un nombre premier parmi les nombres réels. En effet, si a--\-b'2 n'était pas premier parmi les nombres réels, il aurait un facteur premier réel c, et l'on aurait
b1 = cd
(a -+- bi){a — bi 1 = cd.
Mai- cette égalité est impossible, car, si c et d étaient premiers parmi les nombres imaginaires, les deux membres de l'égalité (3) se décompo-
seraient différemment en facteurs premiers, et si c et <l n'étaient pas premiers parmi les nombres imaginaires, le se 'I membre de l'égalité (3)
se décomposerait en un produit de j > I u -~ de deux facteurs premiers, el le pi emier en deux seulement.
En résumé, les nombres premiers imaginaires sont : i" Les nombres premiers réels de la forme \k — i; ■ ' /.• s nombres de la forme a — bi, a* b- étant un nombre premL » réel.
ïiis. jtriiin 'que. — 1 >;• ii - le raisonnement précédent, qqus nous sommes l m n 166 ' appuyés sur la théorie de la décomposition des nombres premiers en somme de deux carrés, c'est-à-dire sur la théorie des formes quadratiques. Il est intéressant de remarquer que l'on peut se passeï de
cette théorie, dé itrer sans \ faire appel les résultats du n° 406, et en
déduire le théorème «le Fermai «lu n° 371.
En effet, non- ;i \ < >n< démontré au n° 165 que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre p, premier parmi les nombres réels, ne le soit pas parmi les nombres imaginaires, est que ce nombre soit décomposable en une somme de deux curies.
Or, comme une somme de deux carrés ne peut rire que de l'une des formes j A, j h -- i . ^h -t- ?.. il en résulte immédiatement le premier résultat du n" 466, à savoir : les nombres premiers réels de la forme \h — i sont premiers parmi les nombres imaginaires.
Pour le nombre 2, il est égal à i2-f- i--
Enfin, pour les nombres premiers réels de la forme 4^-t-i, si nous démontrons autrement que nous ne l'avons fai.t qu'ils ne sont pas premiers parmi les nombres imaginaires, il en résultera qu'ils sont décomposables en une somme de deux carrés, c'est-à-dire le théorème du n,J 371.
Soit/j un nombre premier delà forme 4 h -t- 1 ; considérons la congruence
xi'-i — I = o
( mod p).
Cette congruence admet le- // — i solutions i . ■>. /) — i ; niais elle
admet aussi la solution x = i. Or, on démontre, comme dans la théorie des nombres entiers réels, qu'une congruence à module premier ne peut avoir plus de solutions qu'elle n'a d'unités dans son degré. La congruence ( i ) étant <le degré /> — i et ayant plus de p — i solutions. que le module /> n'est pas premier.
469. Système complet de restes incongrus pur rapport à un module a -+- bi. — La définition est la même que pour les modules réel-. <>n appelle système complet de restes incongrus par rapport à un module a-\-bi, un système de nombres tels qu 'il y en ait un et un seul congru i mod a -\ bi) à un nombre quelconque.
Cherchons à constituer un tel système el à compter le m un lue de nombres qui y sont contenus.
NOUS ;i\oiis \ M ( n" 162) que les multiple- d'un nlire a ■•■- bi -ont les
