Théorème. — Si l'on considère deux réduites consécu

P P tives -—■ et p+1 , si p est impair, la seconde réduite est plus

grande que la première; si p est pair, la seconde réduite est plus petite que la première. D'ailleurs la valeur absolue de la différence entre ces deux réduites diminue lorsque V indice augmente.

En effet

Pp+i Pp = Pp+l Qp- PPQP+1 = (- i)p+»

Qp+i Qp ^p^.p-1-1 QpQp+i

Donc la différence en question est positive si p est impair, et négative si p est pair; de plus, elle diminue quand/? augmente, puisque Qp et Q^+i augmentent.

91. Corollaire. — Les réduites forment donc une suite de nombres tels que chacun d'eux soit alternativement plus grand et plus petit que le précédent, et tels que la différence entre deux consécutifs de ces nombres aille en diminuant en valeur absolue.

Or, quand on a une telle suite de nombres, on peut dire que

tout nombre de In suite est compris entre deux consécutifs précédents.

En effet, soient

nombres. Je suppose

et

" : — Il I > «2 — «3 > "4 — »3 >

On a, en supposant <y >■/>.

Uiq= «2,,-i-i- [(uip — Ulp-i) — (Utp— llop+l)]

■+■ [("tp+t— Uip+l) — («2/M-2— «2/M-3 )]+• • •

-+" [("27-2— Utq-i)— (Usq-t— Utq-i)]+ («27— "27-1)-

u2,j étant é 1; a 1 à uîp \ augmenté d'une somme de termes positifs est plus grand que u 2p f .

On a d'autre part

Utq = lli,,— \{Uip— ttj/H-l) — («Sp+2— "2/;+l)]

[( »2/--i 2 — ^ip+») — (^2p-f-4 "2p+3)]

Utq ('tant égal à uip diminué d'une somme de termes positifs est plus petit que u-,p.

Doue

lt2p-l <C U2,/ < u>p-

Ainsi u2q est compris entre deux termes consécutifs précédents, u2p , el u

On ferait une démonstration analogue pour le terme u.llj+{.

Le théorème précédent se voit plus clairement par une représentation géométrique. Représentons les nombres successifs par

Fig. 1.

des abeisses OA|, OA2, OA3, ... portées sur une droite à partir (Tu ne origine O. D'après les hypoth ! t est à droite de A,, A3

est à gauche de A2, mais A2A3 étant plus petit que A, A3, A3 est entre A, et A2. De même A-, est entre A2 et A3 et par suite entre A, et \2, et ainsi de suite.

Il résulte aussi de ce qui précède que, dans la suite ut, u>, • .., u„, les termes d'indices impairs vont en croissant avec l'indice, tandis que les termes d'indices pairs vont en décroissant. Un terme quelconque d'indice impair est d'ailleurs plus petit qu'un terme quelconque d'indice pair.

Si l'on applique ce qui précède aux réduites d'une fraction continue, on voit que toute réduite est comprise entre deux réduites consécutives précédentes. En particulier, la dernière réduite, c'est-à-dire la fraction continue elle-même, est comprise entre deux réduites consécutives quelconques.

D'ailleurs les réduites d'indice impair vont en croissant, les réduites d'indice pair vont en décroissant, et une réduite d'indice impair quelconque est plus petite qu'une réduite d'indice pair quelconque.

95. Considérons encore la suite (10). Si la différence entre deux termes consécutif s de cette suite est plus petite en valeur absolue que la moitié de la différence entre les deux précédents, il arrive que, de deux termes consécutifs, le second diffère moins que le premier de tous les suivants.

Considérons les deux termes consécutifs u2p-\, ulp et un terme suivant, u2q par exemple. On a vu que

K2p,< USq< l(lp.

Je dis que

(il) U-ip — Uiq<i U2q — Mop-1-

On a, en effet,

uîp—\ ■+" ll2p , ( u2/i-h\ u2p—l \ ( Uzp+i — l( op

Iloq-l «2<7-3\ / U*.q — l<î</--2 v , u2g — "27-I

D'après ce qu'on a vu au n° 94, tous les termes de celte somme, à

1 W2/)-t-l Uzp— 1 '.'P .1 ' I « ">/'— 1

partir de — — — — sont positifs ; uiq est donc égal a — '- — ■ -

augmenté d'une suite de termes [ << >>i i i fs . Donc

iip

inégalité qui revient à l'inégalité (n).

Ce résultat (railleurs se voit encore très facilement par la représentation géométrique de plus haut. Si A3A2 est plus petit

que - • le point A , esl plus près de \2 que de A, ; il en est de

même a fortiori de A,. A . ... puisque ces points sont à droite de A8.

La eirconslance précédente se présente justement pour les réduites d'une fraction continue. La différence entre deux réduites consécutives est plus petite en valeur absolue que la moitié de la différence précédente. En effet, deux différences consécutives sont, en valeur absolue (n° 93),

et

Qp-iQp '.'. Q/m-1

Or

Q/j-hi = Qpap i ■+■ Qp— i-

Qp est plus grand que Q/J, , et le nombre entier positif op+l est au moins égal à i ; donc

QpQ/m-i ^ 2QP iQp

On peut donc dire tpie de deux réduites consécutives, la seconde diffère moins e/ue I<i première de toutes les réduites suivantes, et en particulier de la dernière, c'est-à-dire de la fraction continue elle-même.

En résumé, les réduites successives d'une fraction continue sont alternativement /dus petites et plus grandes que (■<■//<■ fraction, et chacune d'elles diffère moins de cette fraction que les précédentes.

96. Enfin une dernière propriété des fractions continues, d'une grande importance dans les applications, est la suivante :

Théorème. — Dans la réduction en fraction continue d'un

FRACTIONS CONTINUES. 5l

nombre positif, chaque réduite diffère moins d'une réduite

suivante quelconque [et en particulier de la fraction continue

elle-même) que toute fraction irréductible ayant des ternies

plus simples.

En effet, soient une réduite ~s une réduite suivante ^ et une

fraction ^ • Le théorème revient à dire que, si ^ est plus appro-

chée de ^ que ff-> A et B sont respectivement plus grands que P/;

et Q,.

En effet, supposons, pour fixer les idées, p impair, de sorle que

P, P Pp t Qp Q^Qp-i'

tt étant plus approché de K que -p—- l'est a fortiori plus cjue 7-^ . B 111 Q * Qp y 1 l Qp-i

On a donc

pp ^ A ^ Pp-i

Qp B ^ Q,., '

On en déduit

pp-i P£ ^ pp-i ^ -^ n

Qp-i Qp Qp-i b > °>

d'où l'on déduit (à cause de la relation ï>p^\ Qp — Qp i Pp = 1 )

Qp ^ ' B > '

d'où

B>Qp(BPp 1— AQp 1)>o.

B est donc plus grand qu'un multiple positif de Q^, donc a for-

r\ P A RP

tiori plus grand que Q;J. D'ailleurs, de 7-^ •< — on tire A >> -^~et a fortiori A ^> P^,.

97. Remarque sur la réduction en fraction continue des nombres négatifs. — Réduire en fraction continue un nombre

négatif — ^, c'est écrire

~B=-ai

CHAP. II. — COMPLÉMENTS Al X THÉORIES ÉLÉMENTAIRES.

de sorte que le premier quotient incomplel — a ( soit le plus grand entier négatif immédiatement inférieur à — et que les quotients incomplets suivants soient tous positifs.

Il est facile de trouver la réduction en frac lion continue d'un

nombre — ^> connaissant celle du nombre = • Soit, en efle',

d'où

ou encore A

Si b ^ i , L'expression précédente est la fraction continue cherchée.

Si fe=i, L'expression précédente est égale à

qui est la fraction continue cherchée.

PREMIÈRES NOTIONS SLR LES CONGRUENCES. ;"j3