Ul
On voit que ' doit être égal à '/, plus un nombre positif plus
petit que i . Donc at est le quoi ienl à une unité pris de A par B. as étant ainsi déterminé, on lire de L'égalité (8)
A — Bat " -,
Or, a, étant le quotient de la division de A par B, le nombre A — B«, en est le reste ; appelons-le r, . On a donc
de sorte qu'on est ramené à réduire en fraction continue le
nombre
a2 est le quotient de la division de B par /•, à une unité près, et si l'on appelle /*2 le reste de cette division on a
et ainsi de suite.
En définitive, les nombres «,, «2, ... sont déterminés par une suite d'opérations qui est la même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de A et de B. Cette suite d'opérations amène à deux nombres dont la division se fait exactement.
Soient r/i 2 et rn t ces deux nombres. On a
et
— = ax-\
B eu
Exemple : Soit le nombre —• On a à effectuer les opérations suivantes :
d'où
connaissant a , . a , an.
La méthode qui se présente la première à l'esprit est de calculer
les nomlt;
yi = <7.;. ) | i —, .... - — ,
dont chacun se calcule en fond ion du précédent el dont le dernier esl la frael ion continue cherchée.
Mais on peu! au contraire calculer la suite des nombr
Le dernier de ces nombres esl la fraction continue elle-même. Mettons en évidence leur forme fractionnaire. Le premier d'entre
eux étant «,, ou — » posons
De même le second clant a,-. ou » posons
l'j = (lia-,- - i . </• '' ■•
et ainsi de suite; de sorte que la y/'""' fiai lion ainsi calculée esl désignée par - , •
Ces fractions s'appellent réduites (' ).
(') Mais P, et Q, ne sont évidemment pas définis par la seule condition que -X est égale à la pUm° réduite. P, et Q, sont déterminés par le fait
qu'ils sont calculés comme on vient de le dire, ou encore, comme <>n va le
voir, P et <> sont déterminés par le fait que est la forme réduite </ sa plus
simple expression du nombre a, • C'est pour cette raison que
s'appelle réduite.
89. Je dis qu'on a pour calculer les nombres P et Q de proche en proche les formules
Pp = Y p—\Hp-\- Pp-2i QP= Qp-iapH-Qp-2-
En effet, celte loi de récurrence se vérifie facilement pour les premières réduites. Supposons-la vraie pour les réduites jusqu'à la (p — i)iùme. On a donc
Pp— 1 Pp-2^p— 1 ~+~ "/?— 3
Qp-i Qp-2«/»-i-+- Q/)-i
Or ^ se déduit de 7=£~i en changeant a„, en «p, H ;
\.P v.p-1 aP
d'autre part, Pp 2, Qp-2, P/>-3, Q/>-35 sont indépendants de «p,. La formule précédente donne donc
p^ ^ P/>-2 («,,,+ i-)+P,,3 = (Pp 2ap 1+Pp-3)«p+P/,-2
Qp n / M^o (Qp-2«p-i+Qp-3)«p-4-Qp-2
Mais par hypothèse
Pp— 2^p— 1 + Pp-3 = Pp— 1)
Qp-2«p-i-h Qp-3= Qp-i-
Pp Pp-1 <?p-4- Pp-2
Qp ~~ Qp-i«p+ Qp-2
( Pp = Pp— l#p + Pp— 2?
I Qp = Q/»-i«p-+- Qp-s-
Remarque. — Ces formules montrent que, si as est positif, les quantités Vf) et Qp sont positives et croissent avec l'indice. Si a{ est négatif, Vp est négatif et Qp est positif, mais leur valeur absolue croît avec l'indice.
Exemple. — Soit la fraction continue
Les deux premières réduites sont
46 CHAP. II. — COMPLÉMENTS Al \ THÉORIES ÉLÉMENTAIRES.
et
et en calculant les autres de proche en proche, on trouve la suite
90. Les réduites et- ■ — La loi de formation des réduites 1 0
que nous venons d'indiquer oe commence à s'appliquer qu'à la troisième réduite. Ainsi, dans l'exemple précédent, les deux, premières réduites - el - ont été calculées directement. 1 4
Soit la fraction
qT=:t' q;~ ~aT~'
Il est facile de voir qu'en posant
Qo=o, Q l= 1,
on peut calculer -y- et ~ par les formules générales (9).
On a, en effet,
P2 = a1 «2 •+- 1 = Pj (?2 -h P0, Q2 = 1 x a2-+- o — Qi a2-i- Qo et
l'i 1 - "1 0 PottiH- P i, Qi 0 : «■/,-:- 1 : Qo^-f- Q i.
Cette remarque permettra quelquefois d'étendre, sans démonstralion particulière, aux réduites 7^ et 7^=- > des résultats dépendant des formules (9).
91. Théouème. — Entre les termes de deux réduites consép p cutives ~ — et — existe la relation
PpQp-i-P/,-iQP=(-i)P.
FRACTIONS CONTINUES. l\J
En effet, remplaçons P^ et Ç)p parles expressions (9). il vienl Pp Qp, - Pp, Qp = ( Pp, ap + Pp 2 ) Q„, - Pp, ( Qp, ap -+- Q„2 )
ou
PpQp-t — Pw 1Qp = -(Pp 1Qp 2-Pp 2Qp 1).
\11lrement dit, la quantité Py?Q/>i — P/>-iQ/> conserve la même valeur absolue, mais change de signe quand p augmente d'une unité. Or pour/? = o
P0Q i-P-iQo=(ïXi)-(o)(o) = i.
Donc, en général,
P/,Qp,-P/,1Qp=(-i)p.
92. Corollaire. — Les réduites sont des fractions irréductibles. — En effet, d'après l'égalité précédente, le plus grand commun diviseur de P^ et Qp doit diviser 1 .
