C11AP. III. — DES CONGRUENCES

103. Théorème. — Soit a un nombre premier avec n. Si Von divise par n les nombres

les restes obtenus sont, dans un certain ordre, les nombres i , 2 n — i .

En effet, aucune division ne se fait exactement, car n étant premier avec a ne peut diviser ha que s'il divise h, ce qui est impossible si h est plus petit que //.

Aucun des restes n'étant nul, ces restes sont certains des nombres i , 2, .... n — i .

Deux de ces restes ne peuvent être égaux, car si lia et li a donnaient le même reste, (h — h')a serait divisible par n, ce que nous venons de voir être impossible.

Les restes étant des nombres de la suite i, 2, .... n — i, étant en même nombre qu'eux cl étant différents entre eux, sont ces nombres mêmes.

Remarque. — Considérons en outre le nombre na; ce nombre divisé parc/ donne comme reste zéro. On peut donc dire que si l'on divise par n les nombres

a . ia ( n — \)a. na.

les restes obtenus sont, dans un certain ordre, les nombres

Autre énoncé. — Les nombres a, >a \ n i)a, na sont

congrus (mod n) aux nombres o, i, 2, . . ., (n — i).