Théorème. — Soit ^\.r\ un diviseur vnoàp) de f(x). Si

CONGRUENCES DE DEGRÉ QUELCONQUE V NODULE PREMIER. 'j'S

la congruence

/(.r)=ao (mod/?)

a autant de racines que d'unités dans son degré, il en est de

même de la congruence

tpl f)= o (mod /' i.

En effet, soitQ(^c) le quotient dej(x) par o(x). La congruence

/■(:r)= o (mod />)

peut s'écrire

cp| ./) Q(cc) s o (mod /' i.

Le degré de f(x) est la somme des degrés de <f(x) et de Q(# Comme d'ailleurs une racine de /(x) est nécessairement racine soit de o(x), soit de Q(x) ; si la congruence

cp| ./■) = o (mod ]> )

avait moins de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré, il faudrait que la congruence

Q(r ) = o ( modp)

en ait plus, ce qui est impossible.

136. Cas particulier. — Soit d un diviseur de p — i , la congruence

x<( — 1^0 ( mod [> i

a d racines. Car on sait que le polynôme xd — i est diviseur algébrique du polynôme xP~K — i .