Corollaire. — Lue congruence de degré r ne peut

avoir plus de r racines, une racine d'ordre oc étant comptée pour a racines.

Car, sinon, le premier membre de la congruence serait divi-

-\ < 11 a I' . III. - M S i ONGRl l m l 5.

sible (mod /)) par un polynôme de degré plus élevé <juc lui, ce qui es! impossible.

132. Comme exemple 'I.- congruence ayanl autant de racines incongrues que d'unités dans son degré, on peul citer la congruence

/■/• ■ ' i (. i mod /' i

<|ui. d'après le théorème de Fermât, a pour -ululions les nombres 1 • a p — i .

< Ioroj i. URE. — On a

1 [==(a? — i — /> + i ) (mod/?).

133. Théorème de Wilsow. —Si dans l'identité précédente, on fait x = o, il vient, en remarquant que /> esl impair,

i .i. . .i /> — i > — i — i o i mod p i. égalilé qui constitue le théorème de Wilson.

Réciproque du théorî \n de W ilson. Si l'on a

i . 2 . . .( [> — l) I --. O ' mod /> i,

le n'ombre /> est premier.

En effet, sinon le nombre /> aurait un diviseur plus petit que lui, qui étant contenu comme facteur dans le produit i .:>. . . .i p — i)

le dis i -rr.nl ; niais ce diviseur de\ rail au--i di\ iser i .■>.. ..(/> — i)-f- 1

< I ii î est multiple dey/. G'esl impossible.

134. Nous venons de due qu'une congruence de module premier a . au plus, autanl de racines qu'il 3 a d'unités dans son degré.

Mais il y a des congruences qui onl moins de racines que d'unités dans leur degré, Par exemple, on vérifie facilement que

la congruence

/ - } = o < mod ; i na pas de racines.

A ce propos, on a le théorème suivant :