On appelle confluence binôme une congruence de la
forme
x" = a (modp 1.
Le cas particulier où a = o se traite immédiatement. Dans ce cas, la congruence a une solution et une seule : x = o.
1-41. Examinons maintenant le cas de a = i. La congruence devient alors
i 16) x" = 1 (mod/> i.
On sait que toutes les racines de la congruence (16) sont racines de la congruence obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur (mod /;) de x" — 1 et de xP~[ — 1, cette dernière ayant d'ailleurs autant de racines distinctes qu'il y a d'unités dans son degré (n° 138).
Or si l'on cherche le plus grand commun diviseur par la méthode des divisions successives, on voit facilement qu'il est égal à xfj — 1 , 0 étant le plus grand commun diviseur de n et p — 1. (D'une façon plus générale, le plus grand commun diviseur (mod/?) de xr — 1 et xs — 1 est xd — 1 , cl étant le plus grand commun diviseur de r et s; il esi identique au plus grand commun diviseur algébrique, et est indépendant de />. 1
Donc la congruence xr — j = o (modp) a 0 racines distinctes qui sont les racines de x8 — 1=0 (motl p).
142. Nous sommes ainsi ramenés à n'étudier, parmi les congruences de la forme (16), que celles dont l'exposant est un diviseur 8 de p — 1 , et qui oui f> racines <l isl m des.
Parmi ces 0 racines, il y en a qui sont en même temps racines de congruences de même forme, mais de degré inférieur.
i Mil'. III.
DES CONGRUBNCHS.
( Ion sidérons en effel la congru en ce
dP
8' étanl un diviseur de 8. Toute racine y. de cetle congruence est aussi racine de la congruence
car on ;i, par hypothèse,
d'où, m élevant le- deux membres a la puissance ?l-
a5== | | mod /> ).
Réciproquement, toute ratine de la congruence (17), quiest en même temps racine d'une congruence de même forme, mais
de degré inférieur
xr — 1 = o
est aussi racine d'une congruence de même forme mais dont l'exposant est un diviseur de 8, plus petit ijur, Z.
En effet, une telle racine est en même temps racine de la congruence obtenue en égalanl à /-oro le plus grand commun diviseur
des polynômes #8— 1 et xr — 1. Or nous avons vu que ce polynôme est xv — 1 , 8' étant le plus grand commun diviseur de /• el 8,
el par suite 0' étant un diviseur de 0 plus pelil que 0.
[{',). /laeincs primitives. — On peut donc diviser les racines de la congruence xl — 1 = o en deux catégories : i° celles qui ne sont racines d'aucune congruence de même forme, mais de degré inférieur, et qu'on appelle racines primitives ; :>" celles qui sont racines de congruenees de même l'orme el de degré inférieur, et qu'on appelle racines non primitives.
\\\. y/ombre des racines primitives de lu congruence x5 — 1 = 0 (mod/?). — Soit 8 = a*b$ . . . P, la décomposition de 8 en facteurs premiers. Je ferai d'abord la remarque suivante :
à savoir que le plus grand commun diviseur îles deux nombres-»
CONGRUENCES BINÔMES. 79
T j par exemple, est — V • En eflet, si l'on divise— et T par — r» on
b r ' ^A a b ' ah
trouve connue quotients h cl a qui sont premiers entre eux.
Ce résultat se généralise. Le plus grand commun diviseur des ^ % ^ ^ »
quatre nombres -j T} -, -., parexemple, est — -. — -.-En elTet, le plus 1 a b c a ' ' aoed '
grand commun diviseur de - el . esl — ; > comme on vienl de le
voir; ensuite, le plus grand commun diviseur de — r et - est —r- >
10 ab c abc
parce que sj 1 on divise — T et - par —7-» on trouve comme nno-
1 ' ab c l abc '
lienls c el ab qui sonl premiers entre eux; et ainsi de suite.
On déduit de ce qui précède que les racines communes aux ô 3 0 0
congruences xa — 1 = o, xh — 1 = o, x' — 1 = o, xd — 1 = o sont
les racines de la congruence xabcd — 1 = o.
Ceci posé, la congruence x8 — 1 = o(mod/?) a en tout 0 racines. Celles de ces racines qui ne sont pas primitives sont racines de l'une des congruences
Supposons écrites les 0 racines de la congruence a?8 — 1 = 0
dans une suite S, et de cette suite barrons successivement les
racines de la congruence x" — 1 = 0, puis celles de la con-
gruence x1' — 1=0, . . .; il ne restera plus qu'à voir combien il
reste de racines dans la suite.
Or les racines de la congruence x" — 1 = 0 sont au nombre
de -; si on les barre dans la suite S, il reste dans cette suite a
