Théorèmi . Si y. est une racine de la congruence

x8 — 1 = o et ?.' une racine de la congruence xs' — 1 =o, aa' est racine de la con gruence .rss' — i =o.

.s \ r.HAP. III. - DES < 0KGR1 RNCES.

l'n effet, des congrucm es

on déduit facilement

(osa' fà = I.

| ',S. Théorème. — Si a est racine primitive de la congruence '?j — 1 = 0 et -/ racine primitive de la congruence xv — 1=0 et que û et o soient premiers entre eux, aa' est racine primitive de la congruence xzv — i = o.

En effet, supposons que aa' soit racine de la congruence

,// 1 =;; 0 ( mO(l /) L

On a donc

(aa' )>' = !,

ou en ('devant les deux membres à la puissance o

Mais a5A est congru à i. Donc la condition précédente peut

s'écrire

Or puisque a' est racine primitive de la congruence x°' — i = o, ceci exige que 8/2 soil un multiple de o', et, puisque 0 et ô' sont premiers entre eux, ceci exige enfin que h soit un multiple de 0.

On verrait de même que h est un multiple de 0'.

// étant un multiple commun <!<• S ri 8' qui sont premiers entre eux, // est multiple de 00'. Donc la plus petite valeur possible de h est égale à 00'.

Donc aa' est racine primitive de la congruence

, ôô — | == o.

1 19. Restes des puissances successives d'un nombre par rapport à un module premier. — Los résultais précédents peuvent s'énoncer autrement .

Soit a un nombre quelconque non divisible par un module premier p. Considérons La suite indéfinie des puissances de a,

a, y- y.7' y.'Jt ' . . . ,

et divisons-les par p, elles donnent des restes dont aucun n'est

nul et qui sont par conséquent certains des nombres i . 2

p — 1 . Soient

ces restes.

Nous avons vu qu'il existe toujours une congruence #5 — 1 = 0 dont a est racine primitive

Les nombres a, a2,. . . , a8 sont alors incongrus deux à deux, le dernier de ces nombres étant congru à 1 . De plus on a vu que ces puissances. forment une suite périodique de 0 termes, deux termes dont les rangs diffèrent d'un multiple de 0 étant congrus (mod/>).

Donc, les restes /,, r2, . . . , /"8 sont inégaux, le dernier étant égal à 1. La suite indéfinie des restes est une suite périodique de 0 termes, deux termes dont les rangs diffèrent d'un multiple de 0 étant égaux.

Ce nombre 3, qui est un diviseur de p — 1. est dit Y exposant auquel appartient a par rapport au module premier p.

Il existe 9(0) nombres incongrus deux à deux (mod/?) et appartenant à l'exposant 0.

En particulier, les racines primitives du nombre p sont les nombres qui appartiennent à l'exposant/? — 1. Il y en a cp (p — 1) incongrues deux à deux. On peut les choisir parmi les nombres 1, 2, .. ,p — i.

Le théorème du n" 148 peut s'énoncer ainsi : Si deux nombres x, y.' appartiennent à deux exposants 0, 0', premiers entre eux, le nombre aa' appartient à l'exposant 00'.

150. Indices. — De la théorie précédente de la congruence x" — 1 = o, nous allons déduire une nouvelle notion, celle d'indices, qui nous servira ensuite dans la considération de l'équation binôme la plus générale x" — « = o.

Soit g une racine primitive de p. Les nombres

( 7 I ) l jr tri crP — 2

sont congrus (mod p), à l'ordre près, aux nombres i, 2, .... p— 1.

Par suite, soit a un nombre quelconque, non divisible par/7.