RACINES PRIMITIVES

exemple, supposons qu'il v en ait

/;, qui soient racines primitives de la congruence x — i = o, ni » xl -1 = 0,

//,,, » xi>-{— i=o.

D'après ce qu'on a cl i L plus haut, les /? — i nombre.- considérés sont tous compris dans cette énumération. Donc

ni — /15-f- rtg'-i-. . .-+■ n,,-x = p — 1.

D'au Ire part

n, = 0 ou «! = cp(i),

ni =0 ou «s = <?(<$),

ni- = o ou n^ = cp(Ô*),

«/,.., = o ou n,,-i — o(p — 1).

Or

ç(i)-)-cp(8) + .. .-h <f(p — 1) =p — 1,

et, comme on l'a dit plus haut,

ni -+• «g -4- «g- -h . . . -+■ np-i — p — 1 .

Donc, si un seul des nombres «1, «g, • • ■ » "/»-i était nul, leur somme ne pourrait être égale à p — 1 . Donc

71, = <p(i), ni=v(o). «s=<p(o')? »,,-i = 'f(/> — 1).

C'est ce qu'il fallait démontrer.

I 40. Racines primitives du nombre premier p. — En particulier, il existe cp(/9 — 1) racines primitives de la congruence

.r/'-' — 1 == o (mod/)).

Ces racines primitives sont dites racines primitives du nombre premier p.