Théorème. — «So/7 a l' indice d'un nombre a; soit S
/>///5 grand commun diviseur de a e/ t/<? /; — 1 ; y'e û?w que a
appartient a I exposant — k — •
En cflel, on a
a = £■* (motl/j).
Donc
<7,r = £•'« i iiiud // 1.
quel que soil r.
Donc pour que ar soil congru à 1 , il faut et il suffit que ry. soit divisible par p — i, c'est-à-dire que l'on ait
/ïso | modi /' —i)l ou
iml
Or, ? étant premier avec - > > la première valeur de r pour
/' laquelle cette condition a lieu est r = ^ ^ ' » ce qui démontre le
théorème.
En particulier, les racines primitives sont les nombres dont l'indice est premier avec p — 1. Ainsi : Connaissant une racine primitive, on les a toutes en élevant la première à des puissances dont les exposants sont premiers avec p — 1. (C'est le théorème VI du n° I 15.)
152. Voici maintenant des propriétés des indices qui montrent leurs analogies avec les logarithmes :
Théorème. — L'indice d'un produit de facteurs est congru
[mod (/? — i)|, à la somme des indices des /'acteurs.
En cllet, soienl a, a', a" îles facteurs; a, a', a" leurs indices. Soil X L'indice du produit. On a
« = A'-4 (mod /- i.
a' = a':'- (mod // i,
-/" g*" ( mod /> i.
Donc
aa'ct"— g-a+a+a" < mod/J |.
Mais, d'autre pari ,
an' n" a''' i mod/? ).
Donc
g-on-a'-f-a"= £•>. (mod/)), ce qui entraîne
a + a'-t- x" — À | mod ( /> — i )|.
ce qui démontre le théorème.
153. Corollaires. — L'indice de la puissance mième d'un nombre est congru [mod (/> — i)] à m fois l'indice de ce nombre.
loi. L'indice du quotient (mod/?) de deux nombres est congru [mod(/j — i)] à l'indice du dividende diminué de l'indice du diviseur.
loo. Changement de base. — Soienl a l'indice d'un nombre a dans le système de base g, a' l'indice du même nombre dans lé système de base g*. On a donc
(11) g*^ ir"x i mod /> >.
Soit y l'indice de g' dans le système de base g. On a
g'~gy (modp).
Donc l'égalité (22) peut s'écrire
#a= a'Vv- 1 mod /' ».
d'où
•;a' ■ y. | mod (p — I l].
Telle est la relation par laquelle on calculera l'indice a', connaissant l'indice a.
lin particulier, si rt = »• on a a = 1 , cl d'autre part a' est l'indice
88 fil Al'. III. - DBS < ONGRl BKCES.
de i' (Lin- le s}- sir me de ba-.- - ' . < >n a floue la relation
ind ç# < in<l g\ | """1 1 /' — ')]•
156. Application à I" congruence binôme générale. — Nous allons maintenant étudier la congruence binôme générale
/•" a | iiicmI ji
Cherchons la condition nécessaire et suffisante pour que cetle congruence ail des solutions, el combien elle en a.
Si a o, comme non- l'avons déjà, dit, La congruence a une solution el une seule, x = o.
Soit maintenant a =? o.
Dans ce cas, la considération des indices va nous permettre de ramener l'élude de la congruence binôme à celle d'une congruence du premier degré. Prenons en effet les indices (dans une base quelconque) des (\cu\ membres de la congruence (23 >; il \ient
// ind x ind '/ | mod (p — i )].
Soit o le plus grand commun diviseur de // et de /> — i . Si o divise inda, la congruence (a4)> dans laquelle on considère ind.r comme l'inconnue, a o solutions, et il en esl de même de la congruence proposée. Si o ne divise pas ind a, la congruence (^4)est impossible el il en est de même de la proposée.
La condition qu'on vient de trouver, à savoir que o divise mda, peut s'énoncer autrement. En effet, divisons ind '/ par o, soient /« le quotient et /• le reste,
inda = /. o -i- r <»/•<&.
I )one
a = £,*<5+r, ( mod /'
en appelant g la base du système d indices. On en lire
k[p ii
(mod/)).
Si o est un diviseur de ind a. r est égal à zéro. Par suite l'éga-
lité précédente donne
( mod /> ).
Si au contraire 0 ne divise pas inda, /• n'esl pas nul, et comme r est plus pelil (jue 0. ou a
r(p-i) ^ Donc
a ô == £■ <3 ^ 1 ( mod /-
Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la con-
gruence
xn = a ( mod p)
soit possible, est que l'on ail
/'-' (25) a 0 =1 (mod/>),
r/t désignant par S A? /j/ms grand commun diviseur de n et de p — 1 .
Quand la congruence est possible elle a d'ailleurs 0 solutions.
