DES CONGRUENCES \ MODULES NON PREMIERS. U

Toute solution de la congruence i t6) esl en même temps solution d< -s congruences

('27) f(x) ~o (mod n'j,

28 /1 x o ( mod n" 1,

I 29 » y'i x 1 0 (mod //" 1,

ei réciproquement, un nombre solution commune aux trois congruences (27 . (28), (29) est évidemmenl solution de la confluence (26 .

Soient

2 une solution de la congruence (27), p » (28),

De

a. mi déduit une infinité de solutions de la congruence | 27 iqui sont congrues à a (mod ri • » (28) " » P(modn"),

Donc, de a, {j, y, du déduit une solution de la congruence(26 1 en cherchant un nombre qui soit congru à x(mod 71'), congru à ^(mod/i"), congru à v(mod //'"). Les modules n, n\ n" étant premiers entre eux. deux à deux, on est ramené au problème du n" 11(1. Ce problème est toujours possible, et la solution esl delà forme

l y.n' 1» X~ ï"' "/'';" Y"VT -ri ri ri" t

;',;".;" étant des nombres déterminés satisfaisant aux conditions

n" n'""z 1 (mod n'),

11" n"i" 1 1 mod //'),

ii'n";" 1 ( mod /<"').

et / étant un nombre entier quelconque.

On voit donc qu'il n'\ a qu'une de ces solutions (mod n ).

\insi de tout système de solutions des trois congruences 1 in . 1 28), 1 29) on déduit une -(dut ion de la congruence -1 > .

D'ailleurs de deux systèmes différents de solutions des trois congruences 1 •- , (28 , (29) on déduit deux solutions différentes de la congruence 1 26 .

i il LP. III. - M S CONGRI I ni l 5.

En effel, soient v , . t , . -- , un autre système de solutions des

congruences i ■■- . 18 . ■>, .

< >n en dédu ira la solution

(3l) 1xll' Il ; .'-]" " : V" '" ' --'" H II' Il II.

el pour que les solutions >o el i 3 i fussenl congrues i mod // il faudrait que l'on eûl

(a X] n h : '- '.\'n ni ■•; — *,'|i" ' n ; o (mod n), d'où

i7. 2,i//"// ':' : ;■ n n : •; ■;, nu ; O (mod/l'),

un

(oc — y., \ii"n'"z' <> , mod n! ). Mais on a

//' n' \ i i mod // Donc on aurait

de sorte que t el y, ne seraient qu une même solution de la continence i >.~ i. !)<• inriiii', [3 el (34 ne seraienl qu'une même solution de la congruence (28); v el ■", ne seraienl qu'une même solution de la congruence (29 .

Conclusion. Si Ton a trouve

l> solutions incongrues «le l;i congruence l , .

on en déduit pqr -ululions incongrues <!<• la congruence proposée ( 26 |.

167. En particulier, on peut décomposer // en facteurs premiers

tt~J-. !>'•' /' ■ l'-tan 1 premiers entre eus deux à deux : on voit (\ur

l.i solution de toute congruence se ramène à celle de congruences de la forme

(3*2 /,/(.' mod z»71)

1 // élanl un nombre prem ier