DES CONGRUENCES \ MODULES NON PREMIERS

168. Maintenanl nous allons montrer comment la solution de la congruence (32 i se ramène à celle de la congruence

fi x l o (mofl /<"-' i.

ce qui. de proche en proche, ramène la congruence propo'sée a une congruence de module premier.

En ellei toute solution île la congruence (3a) est solution «le la congruence (33). Soit x0 une solution de la congruence (33 >.

Un en déduit une infinité de solutions de celte congruence (33), • le la forme

Posons doue, dans la congruence I ■"> i I

x — a?0-f- p™-xy.

v étanl une nouvelle inconnue.

Il vient

/(a?0H-jD«-ljr)=o (iimmI/>-)

OU

;,, /(io)+^/'(iri) + /'^,^+...30 (mod/»«).

Ions les termes de celte congruence sont divisibles par />""': soil a0 le quotient de/./-,, par /v77-1. on peut écrire la congruence (34)

ao-±-JrJ (#o) H- P*~l y* - — ; h... =20 (mod p),

ou plus simplemenl

( 35) <z0h r/ i ./•„ i o i mod p .

Si /'(./■„, o (mod p) il \ a une valeur de )■ ci une seule mod p) satisfaisante cette congruence. On en déduit pour x: par la formule ./• ./■„ -~ />~~\\\ une seule valeur (mod/?71 1.

Si /''( x0 i o et que a0 o, il n'y a pas de solution.

Si /"■ ./-,, i o ei que a0 : o, la congruence i 35 l esl indéterminée, elle a /> solutions (i 1/?), d'où l'on déduil p solutions

pour X I mod j>~ '.