VI. Soit a >~. — Je dis que, d'une façon générale, pour

- '<. la congruence

a J - - a 0 1 mod >.~)

a quatre solutions : x0, — xt, à condition que

a ■ 1 ( mod 8;.

De plus, de ces deux nombres :

/'////, r/ //// seulement, est pair.

En effet, le théorème étant démontré pour 7t = 3, il nous suffit de montrer qu<', s'il esl vrai pour une certaine valeur de it, il est vrai pour la valeur - -f- 1. Or, soient ±x0, ±x, les quatre solu-

1 1 1 » 1 1 1 de

;.| 1 a?2 — a 0 mod '~ >.

ri supposons

Siii\oii> l,i méthode générale el pour résoudre la congruence

I l<> 1 //ni mod j7

102 m \l'. III. Dl S C0NGR1 I Ni I --.

posons successn emenl

■~ y el

La première substitution donne pour y la congruence

■ l | I m I IIMmI ' .

mais cette congruence esl impossible, puisque - — est impair.

\n contraire, la seconde substitution donne

congruence indéterminée, puisque - - esl pair. On peul donc

prendre r <> ou y =i, ce qui donne, pour la congruence I [o . quatre solut ions :

ou, ce qui revient au même, au module 21t+l près,

Maintenant, Mib-tiiuons ces valeurs dans l'expression >

il vient

valeurs entières donl la différence esl impaire (puisque r. 2 el ([lie j{ esl impair); donc, >i lune e>l paire, l'autre esl impaire. Donc tout ce qu'on a supposé pour- la congruence 1 3g 1 esl aussi vrai pour la congruence 1 Jo), el le théorème esl démontré.

\ II. Enfin, supposons que n soit quelconque, il suffit de d^ composer // en facl eurs premiers

ei il appliquer la mél hode du n° 166.

r.n particulier, lorsque n esl impair el premier avec a la congruence, si elle esl possible, a ■>.''■ solutions, •). étanl le nombre des facteurs premiers différents de //

Mis CONGRUENCES A MODULES NON PREMIERS. "'■>