ipplicalion. — Appliquons les résultats précédents à la

IOO I il LP. III. Dl - I ONG RI ENCBS.

congruence

16 i - a — o i mod /' .

ii étant supposé premier avec le module n .

I. D? abord, si n est un nombre premier impair, on saii n' 158 I que la congruence esl possible el ;i deux solutions si a

reste quadratique il«' // : elle esl impossible dans le cas contraire.

II. Si n f~- /' étant impair, soii ./,, une solution de la congi uence

x- — a <> i mod />~ ' .

Posons dans la congruence i 36'

y est déterminé par la congruence

> ./•,,!• o (mod p

Or, ./„ satisfaisant à la congruence (3^), <-i a étant premier avec />.<•(• uombre .>•,, n esl pas congru à zéro < hum! /> .. I >onc il en est de même de ' ' ,,- Donc la congruence i 38) a une racine <■! une seule. I) ■ la congruence (3^ ) a'autanl de racines que la congruence (38 : 'I : de proche en proche on voit qu'elle en a autant

que la congruence

a a o l mod p ,

c'esl à-dire deux.

III. Soit n >■ Mors la congruence .i une solution ./■ = i i par hypol hèse a esl impair i.

I\ . Soit n j. — Uors a esl impair. La congruence ne peul avoir pour solution <|u un nombre impair. Mais le carré <l un nombre impair

cn| congru à i i mod j .

La congruence n'esl donc possible <|n<' si a esl congru à i (mod i ' el elle ;i deux solutions i el i .

M> CONGRUEXCES \ MODULES NON PREMIERS. i"i

\. Soit n-. :8. Le carré du nombre impair 2 h- -i,àsavoir

4//1 A 1 i, est non seulement, comme nous venons de le «lire. congru à i(mod }), mais même congru à i(mod8).

Donc, pour que la congruence soil possible, il faut que a soit 1 ongru ;i 1 (mod 8), <■! elle a pour solution n'importe quel nombre impair. Elle a donc quatre solutions incongrues (mod 8), à savoir

Remarquons que si l'on substitue ces solutions dans x- — u . on obtient deux résultats :

divisibles par S. Les quotients par o sont égaux a — r — et — h 1 :

ils diffèrent de 1. Donc l'un est pair, l'autre impair.