DES CONGRCENCES A MODULES NON PREMIERS

Le nombre k s'appelle Mexposant auquel appartient x par rapport à n (4).

i,iu- les nombres positifs, plus petits que n el premiers avec lui, on a k=<p(n) et le théorème esl démontré.

sinon, soit 5 un nombre positif, plus petit que n el premier avec lui, et qui ne soit égal à aucun des nombres /•,. r. i\. Considérons les nombres

Deux de ces nombres sont incongrus entre eux, car si l'on avail

sx"' sx'"' ( mod // ), il en résulterait

«(a"'-"1' — i)=o (modn),

ce qui est impossible, puisque s est premier avec u el que a"'-"1' n'est pas congru à 1 ( niotl n ).

De plus, un nombre quelconque de la suite (44) est incongru à un nombre quelconque de la suite ('i')j car si l'on avait

sx'" = xi' ( mod n ),

• n en déduirait

d'où

s e= x\'~m ( si /; />/ ) 5 == a*+j»-"» ( si ^? < /» .

oll

ee qui n'est pas, puisque s n'est égal à aucun des nombres /,, r., rk.

Si doue l'on divise les nombres (44) P;|r H,on trouve comme restes /.' nombres v, , .v., ..., sk positifs, plus pelits que n et premiers avec lui: différents entre eu\ et différents de- nombres /•.

Si le- nombres i\, r2, .... /•,. el .v , , .v , sk forment tous les nombres positifs,

plus petit- que n et premiers avec lui. on a

Sinon, on considérera un nbre /. positif, plus petit que // el premier avec

lui, mais qui ne -oit égal à aucun des nombres r,, r... .... /',., ni à aucun de-

nombres s,, s . ..., sk\ et l'on raisonnera de la même façon.

Si les nombres /•,./• , rk, St, S2, . . . , Sk et tlt t2, . . ., tk forment tous les

nbres positifs, plus petits que n el premiers avec lui, on .1

Sk = <?< n 1, et ainsi de suite.

Donc cp (n ) est un multiple de /. .

< » 1 • sait, d'ailleurs, que les termes de la suite (42) dont l'indice esl multiple

de /. -ont congrus a 1 (modra). Donc

y i " 1 ( mod n ).

: dste-t-il, pour un module composé />. des racines primitives, c'esl à dir< des nombres appartenant à l'exposant :p< n ■ .' Non- laissons au lecteur le soin de démontrer que de telles racines primitives existent lorsque/] esl une puissance d'un nombre premier impair, ou le double d'une telle puissance. Dans les autres cas, il n'\ a pas de racine primitive.

io8

1)1 - ( OXGRI ENCF.S.

[l'A. Comme application, traitons la question des fractions décimales périodiques,

Soii une fraction ordinaire • Supposons «indu en ail extrail

la partie entière, de sorte <|u «'Ile smi plus petite que i . Nous supposons, de plus, qu'elle esl irréductible, c'est-à-dire < 1 1 1 < ■ a el b sont premiers entre eux.

Pour l'évaluer à ,'„ , ,'MI. ll,,1111. ... près, il faut diviser par b les

ibres

I < Wf. I 1)11^ | <><>< w/.

Supposons d' abord b premier avec 10. Soil /. l'exposanl auquel appartient ro par rapporl à A. < >n a

l IO* l<>-

ii ioA " i "' a

i mod l> i", ( mod /' i.

Comme a esl plus petil que 6, ceci prouve que les divisions des nombres lo^a, io2ka: ... par A, donncnl le même reste a. Donc les restes successifs el par suite les chiffres du quotienl présentenl une période de k chiffres, commençanl immédiatement après la \ irgule.

Il n'existe pas d'ailleurs de période de moins de /. chiffres, car pour que I on ait

audrail que I on rùt

a io*' a ' mod />

i m'' ni A i.

ce qui esl impossible si k1 /• .

( )n peut remarquer que le nombre de chiffres de la péi iode esl indépendant de a.

Exemples :

< les fractions décimales périodiques, donl La période commence immédiatement après la virgule, s'appellent fractions pêrlodiques simples.

I-iiM .TUINS SYMÉTR. DES NOMBRES PLUS PETITS oi'l \ NOMBRE PREMIER. 100.

Supposons maintenant que b ne soit pas premier avec \ o. Suit

lé étanl premier avec i <>.

Supposons, pour fixer les idées, k^> p. Si l'on multiplie la

fraction proposée par ioa, elle devient

a.oa P esl premier avec // qui esl premier avec 10. La fracas . ~)'x~ P . i • -, , ...

lion — -.-, esl doue égale a une partie entière, plus une traction

dont le dénominateur est //, et dont le numérateur est premier avec //'. Celle dernière esl une traction périodique simple. Pour retrouver une fraction égale à la fraction proposée, il faut reculer la virgule de y. rangs vers ia gauche; on obtient alors une fraction périodique dans laquelle la période ne commence pas immédiatement après la virgule : c'est ce qu'on appelle une fraction périodique mixte.

Exemple :

Réciproques. — Les réciproques des théorèmes précédents sont vraies.

I ne fraction . riant réduite à sa plus simple expression, si l> est premier avec 10, cette fraction est égale à une fraction périodique simple ; sinon elle est égale à une fraction périodique mixte, la période n'étant d' ailleurs composée que de zéros si h ne contient que les facteurs premiers ■>. et ."». auquel eus la fraction esl limitée.

§ VII. Fonctions symétriques des nombres plus petits qu'un nombre premier.

I / I. Soit un nombre premier/?. Considérons les fonctions symétriques rationnelles et entières, à coefficients entiers, des nombres

i,2,3 p ■ 1. Je dis qu'une telle fonction est divisible

par p quand son degré n'est pas divisible par p — 1.

Considérons d abord les sommes S , . S2, S 3 S« 2 des puis-

(IUI'. III.

ni s i ONGRl i.m i -.

sances semblables des nombres i . 2 /> i, depuis l'expo-

^;nii 1 . jusqu à l'exposanl /> > .

Si 1 • • /' 0

esl évidemment divisible paro.

Supposons le Lhëorème vrai pour S,. S, Sa i. démontrons-le pour S///, /< 1 . ( )n a la relation, démontrée en Uarèbre,

< )r le second m cm lue esl dn isible par //. donc le premier l'est aussi. Miiis par lu pollicsc /, 1 />. Donc S/, esl divisible par p.

Pour k =p • — 1 • tous les 1 en nés du second membre sont divisibles par p- excepté le terme p. Donc si I on divise les deux membres de l'égalité parp, il vient

Sp. 1 • 1 (mod /> 1.

Soit maintenant un nombre /. ' plus grand que p 1. Si l'on a

/. ' /. I m ml i> — n.

on ;i

<th' <('' 1 mod /' »,

<|iiel que soil a, d après le théorème de Fermai donc aussi

Donc

S/,- d ( mod /' 1 quand / n'esi pas <li\i-il>l<' par /» — 1, Sjt' i — 1 (mod p) quand k' est divisible par p 1 .

Le théorème s'étend sans peine aux fonctions symétriques

d'ordres quelconques 1 ' .

En effel soil nue telle fonction d'ordre n el de degré I p ■ 11. (el que je peux supposer simple, c'est-à-dire

que ions ses ternies se déduisent de l'un d'eux par permutation

(') Une fonction symétrique d'ordre n esl une fonction dont tous les termes conl icnnenl // lel 1 res.

io\i ikins SYMÉTR. DES NOMBRES VUS PETITS QU'UN NOMBRE PREMIER. Ml

• les Ici 1 1-( is, el onl com me coefficient i .

a j y ... X étant o (modp — i).

Supposons d'abord a, (3, y, . . . . X tous différents. On a alors

Sa«6PcY. . ./>• SaSp. . .Sx— P,

P désignant une fonction s\ métrique de même dej;ré que la proposée, mais d'ordre inférieur d'une unité.

Or a, (3 /. ne peuvent être tous : o(mod/> — i). Donc

l'un au moins des nombres S-,, S«, . . . , S>, est divisible par />: par suite on est ramené à démontrer le théorème pour la fonction P dont l'ordre esl inférieur d'une unité à celui de la fonction proposée.

Supposons maintenanl que les exposants a, (3, y, . . . , a ne soient pas tous différents, qu'il y en ait A égaux à a, B à ri. C à y, elc. On a

Sa^Pcï.. . />■ = ' S*SPSr- * -S) ■- P

i.2...Axi.2...Bxi.a...Cx...

Les nombres A, B, C sont plus petits que p, puisque les quantités <i. h, c, . . ne sont qu'au nombre de p — i. Donc on voit, comme plus haut, qu'on est ramené à démontrer le théorème pour la fonction P dont l'ordre est inférieur dune unité à celui de la fonction proposée.

De proche en proche on esl ramené à démontrer le théorème pour les fonctions d'ordre r, qui ne sont autres que les sommes de puissances semblables ( ' i.

17,"). application à la démonstration des théorèmes de Fermât et de Wilson. Considérons l'expression

Si on la développe par rapport aux puissances décroissantes

{' ) Ou pourrait ; i u - > i démontrer ces résultais, en partant de la congruence idenl ique

xi"' i ,./■ t) {x -- >.) . . . (x - ," i > I mod /' i, •

démontrée au n 132, el écrivant que les coeffu ients des mêmes puissances de c dans les deux membres ~'>ni congrus {modp).

I i a < H M'. III. DUS CONGRUENI I ^.

de ' . le coefficienl de xP ' esl i. le coefficienl indépendant • •si i.2. . . i /> - i ). Quanl aus autres, ce son! <!<•■> fonctions symétriques des nombres i , 2 p 1 , d'ordre plus petit que p 1.

IU sont donc congrus à zéro ( mod p 1. < )n ;i donc

quel que ~>« m t x.

Faisons x 1 . il \ ienl

(i m 1 . ', . .1 /' — 11 < mod /< i,

ce '|ni esl le Lhéorème <l<' \\ ilson.

Ensuite, remplaçons dans la congruence 1 î 5 ) 1 . 2. . . /' 1) par 1 el faisons ./ '/. a étanl l'un des nombres 1,2 p \ :

I I vient

0 aP~ ' — 1 (mod p).

ce qui est le théorème de Fermât.

lti:SÏTS Ol AlMf.VTIQI F.S.