Le cas de a quelconque se ramène à celui de apremier

et à celui de a== - i .

En effet il suffit de se reporter au théorème du n" 170 : Le caractère quadratique d'un produit de facteurs est égal au produit des caractères quadratiques des facteurs. Or tout nombre positif est décomposable en un produit de facteurs premiers; et tout nombre négatif eu un produit de facteurs premiers, multiplié par — 1 .

184. Cas de a = — i. — Ce cas est encore très facile à examiner.

Le nombre ( — i) est reste quadratique de tout module premier impair rie la forme \h — i . // est non-reste des modules premiers de la forme \lt — i.

( lela résulte immédiatement de ce que

est é<?al à i si p est de la forme l\k + i ; el à — i si p est de Ja forme \h — i .

Reste à examiner le cas où a est un nombre premier quelconque, p étant toujours un nombre premier impair.

\<>iis démontrerons d'abord les lemmes suivants :

185. Lemme 1. — a étant un nombre quelconque et p un nombre premier impair, non-diviseur de a, si l'on divise par p les nombres

mi i", ua, 3 a, . . . , £— a.

et que l'on prenne les restes minima (n° 83) de ces divisions,

tes en leurs absolues de ces restes sont . dans un certain ordre,

tes nombres \ . •>. . . . . .

En effet, aucune division ne se fail exactement, car y» étant pre-

I i S CHAP.IT. — fUSIls ni LDRATIQUBS. CONGRDENCBS l'I SECOND hIMii.

mier ne peul diviser ha que s'il divise // ou >/ : or il ne divise pas a par hypothèse, et il ne divise pas // si // est plus petil que lui. Deux restes sont différents, car si l'on avait par exemple

un en déduirait

lui h' <i ( iikmI j> ).

(li — h')a o ( i 1 /' .

ce qui est impossible puisque // — h' est plus petil que/?.

Non seulement deux de ces restes ne sont pas égaux, mais ils ne sont pas non plus égaux et de signes contraires; car si l'on avait

/■// ^ — >'/<• on en déduirait

lia - h' a ( mod /' i, ou

(li -+- h') a = o ( mod /> i,

ce qui est encore impossible, puisque h et h' étant des nombres de

la suite 1,2. ... — leur. somme est au plus égale à /> — 2.

Ceci posé, considérons les valeurs absolues des restes mini ma. Ces valeurs absolues sont au nombre de ■> elles sont positives,

elles sont au plus égales à — — > deux d'entre elles sont différentes; donc ce sont, dans un certain ordre, les nombres

'186. Lemme II. — L<' nombre des restes précédents qui sont

négatifs est finir ou impair, suivant <///<■ a est reste quadratique de p ou non .

\n ti emenl dit, soit p. le nombre de ces restes qui sont négatifs; on a

MODULES DONT UN NOMBRE EST RESTE QUADRATIQUE. ll||

En effet on a

\a = /-, i mod /> i,

ici - = r% (mod />),

a >'i>-i (mou/?).

Multiplions ces égalités membres à membres, les restes /•jj r2, . • • , f'p-t étant en valeur absolue égaux, aux nombres

1,2, ...,-— — , et le nombre de ces restes qui sont négatifs

étant u,, il vient