Supposons que sur une forme

on effectue la substitution linéaire ( ): on obtient une nou-

\Y V velle forme

Supposons que sur celle forme («', b', c'), on effectue la nouvelle

substitution ( v K on obtient une nouvelle forme

Or on peut passer de la forme (a, b, c) à la forme

par une seule substitution linéaire. En effet, les relations

x = scr'-i- $y\ x' = %' x" -+- $'y",

donnent

r = (aa'-H p-;').r"-t-(ap'-t- $o')y\

y = (y*'-+- ?ji >•'•" ■+■ < yP'+ 88')y.

Autrement dit, eirccluer sur une forme la substitution ( . , ).

puis, sur la transformée, la substitution ( *M revient à efifec-

I 1IAI'. \ I.

I i - ! 0RM1 - Ql IDRATIQ1 B8 BIfl LIRES.

•/i'-r pS'

Yp'-+- 88'

tuer sur la première forme la substitution

Ou <lit que cette dernière substitution est le produit des deux premières.

On conçoit facilement qu'au lieu de deux substitutions Miccessives, on puisse en faire un nombre quelconque, et l'on voitque celle Mille (le substitutions (nui toujours -<• remplacer par une seule, que l'un appelle produit des précédentes.

2<SI. Théorème. — Quand une substitution linéaire est égalt

au produit de plusieurs mitres, le déterminant 'le cette substitut imi est égal au produit des déterminants des autres.

Il suffit évidemment de vérifier ce théorème pour deux substitutions. Or le produit des deux substitutions ( ', )? ( ^ )

\Y V \Y fj7 étant égal à

/aa'-hpY' ap'H-pS' \ Y« + c>'[ Yr

le théorème en question n'est autre ebose que l'énoncé de l'identité bien connue

aa'-t- 3y' 2 3

Ya' ~~ 8Y* ",'/ ~T~ r'r'

282. Remarque. — L'expression employée, produit de substitutions, ne doit pas abuser sur l'analogie qui existe entre ces produits et les produits de nombres. Par exemple, le produit de substitutions dépend, eu général, de V ordre de ces substitutions. En effet, le produit de la substitution

a PI 1 *' P'

Jx , '..

est

ax'+ Py' «p1-