I béorème. — Ae produit des déterminants de deux

substitutions inverses est égal à î .

C'est-à-dire que

G'esl une identité extrêmement facile à vérifier, étant donné que A = aS— By.

286. Substitutions de déterminant égal à fci. Substitution* modulaires. — Tout ce que nous venons de dire jusqu'à maintenant s'applique quels «j u** soient les nombres y., t. ■■. S; mais il est bien clair que. dan- la théorie des nombres, on ne consid< re que des substitutions à coefficients enti< i -.

On n'aura donc à considérer la substitution inverse I

de la substitution ( ^\ qu'à condition que -, '' - £, - soient des

aombres entiers. Il résulte de Là que dc8 et V; doivent être divisibles par A-. Donc ao — (3y, c'est-à-dire A, doit lui-même être divisible par A-', ce qui exige que l = ±i (le cas de A = o étant écarté).

\insi nous n'aurons à considérer que des substitutions de déterminant égal à ± i .

Parmi ces substitutions nous aurons principalement à considérer les substitutions de déterminant égal à 4- 1 . Nous les appellerons substitutions modulaires.

287. Puissances négatives d'une substitution. — Par définition, la puissance — 1 d'une substitution, c'est la substitution inverse.

Quant à la puissance ( — »?''""') d'une substitution, c'eslla puissance mième de la substitution inverse.

Le théorème du n° 283 s'applique aux puissances négatives.

288. Notations abrégées pour les substitutions. — Il nous arrivera souvent de désigner une substitution par une seule lettre et de dire, par exemple la substitution A, la substitution 15. etc.

Le produit de plusieurs substitutions A, B, C se désigne par ABC, bi substitution à gauche riant celle que l'on effectue la première, et ainsi de suite dans l'ordre. Le produit de plusieurs substitutions dépendant de l'ordre de ces substitutions, on n'a pas en général

\i;C = CAB.

La puissance wième d'une substitution \ se désigne par A'".