CA = GB

290. Substitutions échangeables. — On dit que deux substitutions \. B sont échangeables, lorsque

Soient

; rj

Y« 8 y yP' 88 x« YP' P«' sp'

Pour que les substitutions soient échangeables il faul donc el il

Suffit <|UC l'on :nl

Il serait facile de trouver la forme générale îles coefficients », 8 y o a' 3' ■' 8' satisfaisant à ces conditions, mais cela nous serait inutile.

294 . En particulier, deux puissances '/'//ne même substitution sont échangeables cuire elles.

Car <'\ idemmenl

On voit de plus que pour multiplier deux puissances d'une même substitution, il suffit d'ajouter les exposants.

292. Celle règle s'applique aux puissances négatives, pourvu que l'on définisse convenablement la puissance zéro.

Il esl bien évident que A '" est la substitution inverse de A'". Donc le produit de ces deux substitutions n'est autre (pie la su!>-

slJlution identique ( la substitution qui consiste a rem-

placer x par x et y par y, c'est-à-dire, en fait, à ne rien substituer).

Cette substitution identique pouvant, évidemment, être suppriméedans un produit quelconque, désignons-la par i .Convenons ensuite que \" i, el nous voyons qu'on a

La règle du produit de deux puissances s'applique donc à deux exposants égaux et de signe contraire; et on l'étend facilement à deux exposante quelconques.

293. Remarque sur la substitution inverse d'un produit . Pour écrire la substitution inverse d'un produit de substitutions, il suffit de renverser l'ordre des facteurs et de changer de signe les

GROUPES DE SUBSTITUTIONS. ni

■ ^posants. \insi

\-r. ' G»)-'= C-3BA-2.

29 \. Groupes de substitutions. — On dit que des substitutions, en nombre fini ou inlini, forment un groupe lorsque : i° le produit de deux quelconques de ces substitutions appartient au groupe; 2° l'inverse d'une substitution du groupe appartient

au groupe.

Un groupe quelconque contient la substitution identique. En effet, soit Aune substitution du groupe, la substitution A-1 appartient au même groupe, et il en est de même du produit A. A-'. Or ce dernier produit n'est autre que la substitution identique.

295. Exemples de groupes. — I. La substitution identique Tonne à elle seule un groupe.