II. Les deux substitutions

i nous désignerons cette dernière substitution par I). 111. Les six substitutions

comme on le vérifie facilement.

IV. D'après les théorèmes des numéros 281 et 285, les puissances, tant positives que négatives, d'une substitution modulaire l'une substitution de déterminant égal à — i forment un groupe.

V. Toutes les substitutions modulaires forment aussi un groupe. ' le groupe est appelé le groupe modulaire.

\ I. De même l'ensemble de toutes les substitutions modulaires cl «le toutes celles de déterminant — i forment un groupe.

296. Congruence des substitutions par rapport à un module. - - On dit que deux substitutions à coefficients entiers

fa B\ /a' B'\

| « )i ( , r I sont congrues par rapport à un module n,

' i >. CHAP. VI. — LES FORMES QUADRATIQUES BINAIRES.

lorsqu'on a

(moil/i

Relativement ,'1 un module /k il n \ a que nh substitutions incongrues deux à deux, à savoir. I<^ //'' substitutions qu'on obtienl '■m donnant à oc, (3, y, r> respectivement comme valeurs tout un

système de restes incongru-- modn 1.

^297. Cas des substitutions modulaires. Mais occuponsnous spécialement des substitutions modulaires. Cherchons le nombre de ces substitutions incongrues deux à deux (mod/i Pour cela, démontrons d'abord le lemme suivant :

Lemme. - Soient y et 0 deux nombres tels que y, 8, /?, soient premiers dans leur ensemble, je dis qu'on peut déterminer deux nombres congrus respectivement à y et S (mod/2 el y/// soient premiers entre eux.

Soit s le plus grand commun diviseur de y et 0; par hypothèse s et n sont premiers entre eux. De plus

Y = eY'> 0 = s8'.

y' et 0' étant premiers entre eux; on peut donc déterminer deux nombres ; et t tels que

Posons alors

Les nombres Zet T sont congrus respectivement à y ei 8(mod n Si nous démontrons qu'ils sont premiers entre eux le théorème sera démontré. Or, on a

Tv'- Zo'= //.

— 1z Lt = £.

Si T et Z avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait // et e, ce qui est impossible puisque n et t sont premiers entre eux.