Déterminer Taire et le volume du tore

178. Déterminer le moment d'inertie d'une spbère, d'un tore, d'un cône droit par rapport à leur axe de révolution.

179. Une barre homogène OA de section constante négligeable et dont la masse de l'unité de longueur est égale à tx est placée le long de Taxe Ox; chacun des éléments infiniment petits de cette barre exerce sur un point extérieur M de masse m une attraction proportionnelle au produit des niasses et inversement proportionnelle au carré de la distance ; déterminer l'attraction de la barre sur le point M et calculer les composantes de cette attraction parallèles aux axes ; examiner le cas où la barre a une longueur infinie.

600 EXERCICES

180. Trouver le moment d'inertie d'une surface plane par rapport à une droite de son plan, d'un cercle par rapport à son diamètre, d'un demi-cercle par rapport à la parallèle à son diamètre passant par son centre de gravité, d'un rectangle par rapport à un de ses côtés.

181. Un liquide s'écoule par un tuyau cylindrique de telle sorte que la vitesse de chaque filet soit v — v^ — /fH, Vq étant la vitesse le long de l'axe, r la dislance du filet considéré à l'axe et A" une constante donnée ; trouver le débit du tuyau connaissant son rayon et la vitesse Vq.

182. On considère une suite continue d'éléments infiniment petits, situés sur une ligne, sur une surface ou dans un volume ; on désigne par dm la masse de l'un de ces éléments et par {x, y, z) les coordonnées de l'un des points de cet élément; on appelle centre de gravité de cette suite le point dont les coordonnées ç, tj, î sont données par

; / dm = j X dm , r) / dm = j y dm , Ç / dm ^ 1 z dm ;

déterminer le centre de gravité d'un arc de cercle, de la surface d'un demi-cercle, du volume d'une demi-sphère.

183. Démontrer que le volume d'un tronc de cylindre quelconque limité par des faces planes est égal au produit de l'aire de la section droite par la longueur de la droite joignant les centres de gravité des deux bases.

184. Trouver le volume compris entre le plan des xy, la surface du paraboloïde de révolution dont l'équation est 2z = x* -h y^ et la surface d'un cylindre parallèle à Oz ayant pour base: 1° un rectangle ayant pour centre l'origine et dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy, 2° l'aire comprise dans l'angle des coordonnées positives entre les axes Ox, Oy et l'hyperbole dont l'équation est xy -\-x ~hy — l— 0, 3" l'aire comprise à l'intérieur de la circonférence dont l'équation en coordonnées polaires est p = 2R cos 0 ; dans ce dernier cas, on emploiera les coordonnées polaires, et l'on déterminera l'aire de la portion du paraboloïde intérieure au cylindre.

185. Évaluer l'intégrale triple / / / ^yz dxdy dz étendue au volume situé dans le trièdre positif des plans de coordonnées entre ces plans et la surface de l'ellipsoïde dont l'équation est

n^ (r c^ 186. Intégrer les dillérentielles totales

xdx-hydy (ijdx—xdy)[X- — y-) ^i , « i , /o , i\ / 2-,—^' — rr ^-^' z'-dx-\-2yzdy-h{2xz-hy^)dz

EXERCICES SIR LES ÉQl ATIONS DIFFÉRENTIELLES 601

187. Évaluer l'intégrale curviligne / x^dy — y^dx prise le long

d'une circonférence ayant pour centre l'origine, dans le sens direct; transformer cette intégrale curviligne en intégrale double.

prise le long des côtés successifs d'un triangle ABC dont les sommets sont sur les axes de coordonnées ; transformer cette intégrale curviligne en intégrale de surface.

Exercices sur les équations différentielles.

[x — iy)dx -f- {(S y — x)di/ = 0 ,

c^={t/ — a){b — y), {i—x^)-JL^xy = ax,

190. Trouver une courbe telle que l'ordonnée à l'origine de la tangente en un point soit égale à m fois l'ordonnée du point de contact.

191. Étant donnée une famille de courbes ou de surfaces dépendant d'un paramètre variable, on appelle trajectoire orthogonale une ligne qui coupe orthogonalement toutes les courbes ou toutes les surfaces de cette famille. Si Ton a une famille dé courbes planes représentées par l'équation f{x, y, a)^=0, le coefficient angulaire de la tangente à la trajectoire orthogonale en un point doit satisfaire à la condition

et en éliminant a entre les deux équations, on a l'équation différentielle de la trajectoire ; en intégrant cette dernière équation, on a une famille de trajectoires dépendant d'un paramètre.

Chercher les trajectoires orthogonales des paraboles y' — 2px = 0 où p varie et des cercles x^-\-y- — 2ax^=^0 où a varie.

192. Une tour verticale pleine a la forme d'un solide de révolution, et est constituée par des matériaux homogènes de poids spécifique /; ;

KXERCICKS

on suppose que la charge sur chaque tranche horizontale est répartie unifonuérnent sur tous les éléments de cette tranche, et que la face supérieure supporte un poids P par unité de surface; déterminer la méridienne de la surface de révolution limitant le volume, de façon que la charge sur chaque unité de surface d'une tranche horizontale soit la même pour toutes les tranches.

-j^=4,-^). -jj. = .,(»- ,v).

-7-^-f-2--7-=^-l- y — cosmj, (cas de m — =hi)

dx' ■ dx'-

pour intégn»r la dernière, on cherchera des solutions de la forme y = j'".

194. Les é(iuations du mouvement d'un point pesant sont d'x d'y dH

déterminer la solution de ces équations satisfaisant aux conditions suivantes: la position initiale du mobile est Torigine, de plus, la vitesse initiale est égale à Vo et est dirigée dans le plan des xz suivant une droite faisant avec Ox un angle donné a.