Démontrer que les intégrales définies
TT
r^^..^- -, (4) r- — ^^-— -^ (fc<i),
(5) r e'''dx, (G) r x^'e-^dx (n>0)
ont un sens ; déterminer la valeur de la première ; trouver la valeur
de la seconde sous forme d'un développement en série ordonné suivant
les puissances croissantes de A:; montrer que la troisième se ramène
à la deuxième en posant x^^sincp, et la quatrième à la troisième
{ en posant x =^ — — . La sixième s'appelle intégrale eulérienne de
seconde espèce et se représente par r(/î) ; démontrer en intégrant par parties que Ton a r(a-4- 1) ^= /i r(n), et que si n est entier, r(;i-|-i) est égal au produit 1.2.3 ... /i .
169. Calculer les coefficients de la série trigonométrique qui repré-
sente la fonction — entre 0 et 27c.
• 170. Étant donnée une courbe de degré égal ou inférieur à 3, représentée par une équation de la forme
y ^=z a -\- bx -\- cx^ -h dx^,
un ou plusieurs des coefficients pouvant être nuls, montrer que l'aire comprise entre la courbe, Taxe des x et deux ordonnées distantes de h y et égale à
.yoi .Vi ^t y m désignant les ordonnées extrêmes et l'ordonnée moyenne équidistante des deux autres; application à la parabole.
171. Étant donnée une surface telle que l'aire d'vme section parallèle au plan des xy et de cote z, soit une fonction de z de degré
EXERCICES SUR LE CALCl'L INTÉGRAL 599
égal OU inférieur à 3 , de la forme
A = a -^ bz-\- cz- -f- c/2^
un ou plusieurs des coefficients pouvant être nuls, montrer que le volume compris entre deux sections parallèles au plan des xy, distantes de h, est égale à
V = ^(Ao4-A,-+-4A.),
Aq , Al et A„ désignant les aires des sections extrêmes et de la section moyenne équidistante des deux autres ; application au segment sphérique et au segment de paraboloïde.
172. Effectuer la quadrature et la rectification de la parabole, de la chaînette (n° 212), de la cycloïde (n° 236), de la développée de l'ellipse (n« 251), de la cardioïdc (n° 238).
173. Trouver Taire comprise entre les courbes y- = 2px, ay^ = x^
174. Démontrer que Taire de la surface d'un cylindre parallèle à Oz comprise entre le plan des xy et une courbe tracée sur le cylindre
zclsy S étant Tare
de la courbe de base. Evaluer de la même manière Taire de la surface d'un cône comprise entre le sommet et une courbe tracée sur le cône au moyen dune intégrale en coordonnées polaires.
175. Deux cylindres de révolution égaux ont leurs axes rectangulaires et concourants ; trouver le volume et la surface du solide commun.
176. Un segment de cercle a pour corde le côté du triangle équilatéral inscrit; déterminer Taire et le volume du solide de révolution engendré par ce segment tournant autour de sa corde.
