Effectuer la réduction de l'équation du second degré

x' — 2xy -h y- — 2x — 2y-h\=0.

200. Déterminer au moyen des invariants les longueurs des axes d'une ellipse représentée par l'éciuation générale du second degré.

201. Démontrer que si deux coniques ont leurs axes parallèles, leurs quatre points d'intersection sont sur une même circonférence et, réciproquement, toutes les coniques passant par quatre points d'une circonférence ont leurs axes parallèles. Parmi ces coniques combien y a-t-il de paraboles ?

202. Etant donné un point 0 appelé pôle d'inversion, un nombre p appelé puissance et un point M, si l'on porte sur la droite OM un segment OM' tel que l'on ait OM . OM' ~~p, on dit (|ue les points M et M' sont inverses l'un de l'autre.

60 i EKKRCICES

En prenant le pôle .0 comme orio;ine, exprimer les coordonnées de Tim des points en fonction de celles de l'autre, soit en coordonnées cartésiennes, soit en coordonnées polaires. Trouver la figure inverse d'une droite, d'une circonférence, d'une conique dont le foyer est à l'origine, d'une hyperbole équilatère ayant l'origine pour centre.

203. Trouver lé lieu des milieux des cordes d'une conique passant par un point donné.

204. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées parallèlement à une direction donnée à des coniques homofocales.

205. Démontrer que si l'on joint un point d'une ellipse aux extrémités d'un diamètre quelconque, on forme deux droites parallèles à deux diamètres conjugués. Etudier la variation de l'angle de deux diamètres conjugués d'une ellipse.

206. Démontrer que la polaire d'un point de la directrice d'une conique quelconque passe par le foyer correspondant et est perpendiculaire à la droite joignant le point à ce foyer.

207. Exprimer en fonction de a et de l'excentricité e les quantités h et V dans le cas d'une ellipse et dans le cas d'une hyperbole; dans ce dernier cas, trouver en fonction de e le demi-angle des asymptotes.

208. Trouver le lieu des points de l'espace équidistants de deux droites données.

209. Déterminer les angles d'un triangle sphérique connaissant les trois côtés, et rendre calculables par logarithmes les formules donnant

cos -^ , sin -J- , ^g "TT • Déduire de là l'expression du volume d'un

parallélipipède quelconque connaissant les longueurs des arêtes et les angles des faces.

210. Démontrer que toute section plane d'un cône de révolution se projette sur un plan perpendiculaire à l'axe suivant une conique ayant pour foyer le point de rencontre de l'axe et du plan de projection.

211. Démontrer que l'équation /*-f-Xcp — 0, où / et ^ sont des fonctions entières du second degré de trois variables x, y, z, et X un paramètre, représente une quadrique S" passant par la courbe dintersection des quadriques S et S' représentées par f=^0, ^ = 0. Si 9 est décomposable en un produit de deux facteurs, c'est-à-dire si S' se décompose en deux plans, démontrer que les quadriques S et S" sont tangentes l'une à l'autre aux points de rencontre de S et de

la droite d'intersection de ces deux plans; les surfaces S et S' sont dites alors bitangentes. Si 9 est le carré d'une fonction linéaire, c'està-dire si S' se réduit à un plan double, démontrer que S et S' sont tangentes en tous les points de rencontre de S et de ce plan ; les surfaces sont alors dites circonscrites le long de ce plan ; déduire de là que Téquation d'une quadrique circonscrite à S est de la forme /"-h-XP^^^O.

212. Une quadrique est circonscrite à une sphère le long d'un plan P; démontrer que toute section plane de cette quadrique par un plan tangent à la sphère est une conique ayant pour foyer le point de contact du plan et de la sphère, et pour directrice la droite d'intersection du plan sécant et du plan P de contact de la sphère et de la surface.

Dans le cas où la surface est un cône la révolution, on retrouve le théorème de Dandelin sur les sections planes de ce cône.

213. Démontrer qu'un hyperboloïde à une nappe est coupé par un plan tangent à son cône asymptote suivant deux droites parallèles à la génératrice de contact du plan avec le cône.

214. Trouver les propriétés des diamètres et des plans diamétraux d'un paraboloïde.

215. On considère trois diamètres conjugués quelconques d'un ellipsoïde et le parallélipipèdc construit sur ces trois diamètres ; démontrer: 1° que la somme des carrés des arêtes de ce parallélipipèdc est constante, 2** que la somme des carrés des surfaces de ses faces est constante, 3° que son volume est constant. On démontrera d'abord cette proposition en supposant qu'un diamètre reste fixe et que les deux autres varient dans le plan diamétral conjugué ; on passera de là au cas général en comparant deux systèmes quelconques de trois diamètres à d'autres systèmes avant entre eux ou avec ceux-là un diamètre commun.

216. Déterminer les rayons de courbure principaux en un point d'une surface de révolution ; application à l'ellipsoïde de révolution, au paraboloïde de révolution, à la surface engendrée par une chaînette tournant autour de sa base.

217. Démontrer que l'on peut déterminer un tore tangent à une surface donnée en un point donne, de façon que les sections de ce tore et de la surface par un plan quelconque passant par le point de contact aient même rayon de courbure en ce point.

218. On appelle longueur d'une normale à une courbe plane la distance entre le pied de cette normale et le centre de courbure correspondant. On considère les sections principales d'une surface en deux points infiniment voisins situés sur une même ligne de courbure, et

606 EXERCICES

déterminées par les tangentes à cette ligne, puis Ton trace les normales en ces deux points à la surface ; démontrer, en répétant le raisonnement du n° 414, que la diflërence infiniment petite entre les longueurs de ces deux normales est égale à Tare infiniment petit compris entre les deux centres de courbure sur le lieu de ces centres; en déduire que la difFérence entre deux normales quelconques tangentes à la courbe lieu des centres de courbure est égale à Tare de cette courbe compris entre les points de contact de ces deux normales.

Cette propriété s'applique aussi à une courbe plane quelconque et à sa développée ; un arc de la développée est égal à la diflérence entre les longueurs des normales à la courbe, tangentes à la développée aux extrémités de Tare considéré.

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