CHAPITRE VIII
50. Fonction a*. — Ainsi que nous l'avons dit au n° 44, on appelle fonction exponentielle une expression de la forme a', a étant un nombre positif et x un nombre algébrique quelconque. Sa valeiir pour X entier ou fractionnaire est définie dans la' théorie élémentaire des exposants (Ch. IV).
De même que nous avons remplacé le calcul de e* par celui d'une série, nous allons ramener le calcul de a* à celui d'une certaine série, en rattachant la fonction exponentielle générale à la fonction e*.
Désignons par a le logarithme népérien du nombre a ; nous avons
Nous allons montrer que pour toute valeur de x entière ou fractionnaire, positive ou négative, ^^pus avons a* = e**. Si nous élevons d abord les deux membres de Tégalité précédente à une puissance entière m, nous avons, d's^priès les propriétés démontrées au n*»46,
nous avons de même, dans le cas d'un exposant fractionnaire ^ »
si nous élevons en effet les deux membres à la puissance entière q, ils deviennent respectivement a^ et ( e^ I =eP* et ces deux quantités
58 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE
sont égales ; il en est donc de même des preipières ; si enfin m désigne un nombre négatif égal à — m', nous avons
Nous voyons donc que pour toute valeur de x entière ou fractionnaire, positive ou négative, nous avons a* = e^«. Nous prendrons cette égalité comme définition de a' dans le cas de x irrationnel.
En nous servant de la représentation de e* par une série, nous pouvons écrire
xoi . x'^ol'^ . a;"a"
ou bien, en remplaçant a par loga^
, X loff a x^ loff- a x" log" a
Si Ton utilise «ette série pour le calcul numérique d'une valeur approchée de a*, des formules telles que (3) et (4) du n° 44 fournissent la valeur du reste lorsqu'on s'arrête au terme de degré n .
51. Propriétés de a"". — Nous savons que l'on a pour toute valeur rationnelle de x et de i/ les égalités
Nous allons démontrer qu'elles ont lieu pour des valeurs quelconques des exposants ; nous nous servirons' pour cela de l'équation rt* = e*", a désignant le logahllitîie népérien de a y et de ce que nous avons vu dans le chapitre précédent.
Nous avons d'abord
ce qui démontre la première égalité ; là seconde résulté immédiatement de ce que l'on a
Pour démontrer enfin la troisième égalité, nous poserons a* = 6, et nous désignerons par p le logarithme népérien de b ; de la relation
FONCriON EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES 59
a' = 6"^, nous concluons d'abord que p est égal à ox. Nous avons ensuite (a'Y = by = e^\ et la valeur de cette quantité est e*'-'' ou a'^, ce que nous voulions établir.
S2, Limite de (i -ha)" quand a tend vers zéro. — Nous allons montrer que cette limite est égale au nombre e.
Désignons par h le logarithme népérien de 1 -ha; nous avons i -h a = e'*, et nous en tirons a =: e'^ — 1 ; d'après ce que nous avons
vu aux n*"' 47 et 48, a tend vers zéro en même temps que h et v
a pour limite Tunité ; il en est de même de son inverse — • En rempla-
çant i -h a par e*, (1 -h a) * est égal à {e'') " , et d'après le n° précèdent, cette quantité est égale à e" ; nous avons donc
(l-ha)«=e«;
en passant à la limite, l'exposant du second membre a pour limite 1, et nous avons bien
lim (i H-a)* =e.
Si nous posons a = — , m augmente indéfiniment quand x tend
vers zéro ; nous pouvons énoncer le résultat précédent sous cette forme : LaUnûle de (i^ — ^) quand m augmente indéfiniment est égale à e. ■ '' " ^^ ' ' '^^ v
Ce sont les. propriétés précédentes qui justifient l'importance du
nombre e en Analyse.
■ - ' •■■''*'•■-' Cherchons comme application la limite de (1 -h a)^ en supposant
que a et p dépendent d'une même quantité variable et prennent simultanément une suite de valeurs telles que a ait pour limite zéro pendant que p augmente indéfiniment ; en éq-ivant
on voit quela parenthèse a pour limite e ; si le produit ap a une limite, rexpression considérée aura pour limite e''"* *^ . , .
60 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE
Exemple. — Cherchons la limite pour n infini de
/ 'ii±i\ "* •
nous écrivons celte expression sous la forme
ici, a est égal à r, p à a*, et le produit a^ a pour limite 2, de
sorte que la limite de l'expression est e*.
53. Variation de la fonction exponentielle. — Si a est un nombre plus grand que 1, son logarithme est positif, et Texposant xloga de e dans la relation
a toujours le même signe que x. Des résultats que nous avons obtenus pour la variation de e* (n** 47), nous déduisons immédiatement ce théorème :
Théorème. — Les puissances positives d^un nombre plus grand que { sont plus grandes que i ; les puissances négatives sont plus petites que 1 ; elles augmentent d^ine manière continue lorsque l'exposant augmente d'une manière continue; elles croissent au delà de toute limite lorsque l'exposant augmente indéfiniment par valeurs positivées, et ont pour limite zéro lorsque V exposant augmente indéfiniment en valeur absolue par valeurs négatives.
Si a est un nombre plus petit que Iv son logarithme est négatif; Texposant de e dans la relation (i) est de signe contraire à celui de a. En désignant par — a' le logarithme de a, on a
et Ton voit que a* varie en sens inverse de e""*'; on en déduit ce théorème :
Théorème. — Les puissances positives d'un nombre plus petit que 1 sont plus petites que i ; les puissances négatives sont plus
grandes que 1 ; elles diminuent d'une manière continue lorsque l'exposant augmente d'une manière continue; elles ont pour limite zéro lorsque l'exposant augmente indéfiniment par valeurs positives, et croissent au delà de toute limite lorsque l'exposant augmente indéfiniment en vileur absolue par valeurs négatives.
54. Définition générale des logarithmes. -*- D'après ce qui précède, la relation
fait correspondre à tout nombre algébrique x un nombre positif X, et inversement, à tout nombre positif X correspond un nombre algébrique X et un seul; ce nombre est appelé logarithme de X dans le système de base a , et on le désigne par la notation
X =z loga X ;
les logarithmes népériens sont ceux dont la base est le nombre e.
Si la base a est >> 1 , les nombres X >> 1 ont des logarithmes p9sitifs; et les nombres X<;1 ont des logarithmes négatifs; c'est le contraire si la base est <C 1 . Dans tous les cas, le logarithme de l est 0, et le logarithme de la base a est 1.
55. Propriétés des logariliiines . — Le logarithme d'un produit de plusieurs facteurs est égala la somme des logarithmes de ces facteurs.
Le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence des logarithmes de ces nombres.
Le logarithme d'une puissance quelconque d'un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l'exposant de la puissance.
Soient en effet des nombres Xi , X2 , X3 dont les logarithmes sont xi, x*^ x^; on a par définition
Xi = a""' , X2 = o**, X3 = a*».
On déduit de là, en appliquant les propriétés de la fonction exponentielle (n°51), les relations suivantes:
XjXaXa^a**-^**-*-'»,
62 CO.MPJ.ÉMENTS d'aLOÈBRE
La première exprime que le logarithme du produit X1X2X3 est le nombre 0*1 -l- ^2 H- X3 , c'est-à-dire la somme des logarithmes des fac-
teurs ; la deuxième exprime que le logarithme du quotient -^ est la
différence Xi — x^ des logarithmes du dividende et du diviseur; enfin la dernière exprime que le logarithme de la puissance m' de Xi est égal au produit du logarithme Xi de ce nombre parTexposant /n, et cela quelle que soit la valeur de cet exposant.
56. Comparaison des divers systënoies de logaritlimes . — Soit X un nombre quelconque, et x son logarithme dans le système de base a ; les égalités
nous montrent que le logarithme népérien de ce nombre X est égal à x\og a ; on a donc, en conservant toujours la notation log pour indiquer les logarithmes népériens,
log \ = x log a =-. loga X . log a .
Cette relation permet de ramener le calcul des logarithmes des nombres dans un système quelconque à celui de leurs logarithmes népériens ; ce sont en effet ceux-ci qui ont servi primitivement pour la construction des tables de logarithmes, et on en a déduit après coup les autres tables. Les logarithmes dans un système quelconque s'obtiennent en multipliant les logarithmes népériens par un même facteur constant.
Si l'on considère deux systèmes quelcon(|ues de base a et b, on a pour un nombre quelconque X
log X = loga X. loga,
log X = logft X . log 6 ;
on en déduit
logg X log l) logt X log a '
ce qui conduit à ce théorème :
Les logarithmes des nombres dans deux systèmes différents sont proportionnels.
Les logarithmes habituellement employés pour les calculs numériques sont à base 10; nous les désignerons par la notation Log ; ils sont reliés aux logarithmes népériens par la relation
logX = logioX. log 10.
Le nombre log 10 a pour valeur 2,3026 à 1 dix-millième près, de
sorte que Ton a
log X = 2,302 6 LogX.
Le facteur log 10 peut être retrouvé au moyen des tables de logarithmes usuels en remarquant que Ton a
IO = etogio^
d'où, en prenant les logarithmes vulgaires ou décimaux des deux
membres,
