Il /ï-4-l-f-x
0 étant un nombre positif ou négatif, inférieur à l'unité en valeur absolue.
45. Les propriétés de la fonction e" définie comme somme de la série (2) découlent du théorème fondamental suivant :
En désignant par x et y des nombres algébriques quelconques, on a
Nous voulons démontrer que le produit des valeurs des deux séries
.in
\ » mt ... a«fl
in
est égal à celle de la série
, x-hv (x-hy)'^ er i-t- 4 -^ 4^2 ^
(x-hifY"
1)2 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE
Considérons dans la première les termes dont le degré est inférieur ou égal à n ; leur ensemble forme un polynôme de degré n que nous désignerons par PJx), et la valeur de ce poI^Tiome a pour limite la somme e' de la série lorsque n augmente indéfiniment.
Prenons de même dans la seconde série les termes dont le degré est inférieur ou égal à n ; leur ensemble est le polynôme P,Cy). Formons alors le produit des deux polynômes P^fx) et P„(y ) en l'ordonnant suivant les puissances croissantes de x et de y.
Nous voyons déjà que le terme constant est égal à 1 ; les terme»
du premier degré sont x-hy; ceux du second sont -j—^ "•" T i "^ iT*
(x -\- u)^ ce qui peut s'écrire sous la forme ^ -^^ • Nous voyons ainsi apparaître
les premiers termes de la série c*"*"^ ; nous allons montrer que l'ensemble des termes du produit dont le degré est un nombre p égal ou inférieur à 71 est identique au terme de degré p de la série e*"^'. Ces termes du produit sont en effet
xP xP-^ y ay*-* y
en les écrivant sous la forme
Vjf^ExP-iy^p^p^ 2^^x^-^^-f- ••• -f-y^l.
on voit que la parenthèse est le développement de [x-^yY d'après la formule du binôme, et que Tensemble des termes considérés est égal à
[x-hyY
ce que nous voulions établir.
Ainsi donc, le développement du produit P„(jî) . P„( y) renferme tous les termes de degré inférieur ou égal à n entrant dans la série c''^\ c'est-à-dire tous les termes du polynôme P„(j: -h i/), mais il en renferme encore d'autres dont le degré est compris entre n et 2« . Nous représenterons leur ensemble par Q et nous poserons
LA SÉRIE e ET LA FONCTION € 53
nous allons montrer maintenant que Q tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.
Supposons pour cela que Ton prenne dans les séries e* et e"^ les termes dont le degré va jusqu'à 2/i, c'est-à-dire que Ton forme les polynômes P2i,(x) et P2„(y) et que l'on effectue leur produit ; les termes de ce produit dont le degré va jusqu'à 2n constituent, d'après un raisonnement analogue au précédent, le polynôme P.2„(xh-î/), tandis que ceux dont le degré va jusqu'à n constituent P„(x-f-;i/). Les termes qui entrent dans Q sont compris parmi ceux du produit P2n(a:) . P2f,(,y) dont le degré est compris entre n et 2n ; ils forment donc une partie des tenues de la différence
Pi«(^-^.y)-Pn(x-^y)-^ 2 ... (n-hl)'^ ^ 1.2 ... 2n •
Si nous appelons x' et y' les valeurs absolues de x et de t/, nous •sommes certains que la valeur absolue du second membre, ainsi que -celle de Q qui n'en est qu'une partie, sont inférieures l'une et l'autre à
mais lorsque n augmente indéfiniment, les deux polynômes Pinf^+yJ -et P„(x'-hy') ont pour limite e*'"^^' et leur différence tend vers zéro; il en est donc de même de la valeur absolue de Q, ce que nous voulions «tablir.
Si alors nous faisons croître n indéfiniment dans les deux membres de l'égalité (6), Pn(a:), Pn(y) et P„(a:-f-y) ont respectivement pour limites e*, e- et e*-^-% et Q a pour limite zéro ; on a donc à la limite
46. Le théorème que nous venons de démontrer va nous faire voir que la valeur de la série (2) pour x rationnel est identique à la puissance d'exposant x du nombre e.
D'abord, pour x = 0 et pour x = l, la série prend la valeur 1 et la valeur c; si l'on fait ensuite dans l'égalité (5), x^=y, on a
?i4 COMPLÉMENTS d\aLGÈBBE
et en multipliant ensuite plusieurs fois par e' les deux membres, on arrive de proclie en prootie à l'égalité
m étant le nombre des facteurs du premier membre.
En faisant alors x^ 1, on voit que e", dans le cas de m entier, est égal au produit de m facteurs égaux à e, c'est-à-dire à la puissance m* du nombre e.
Si l'on fait maintenant x = —, et si l'on forme le produit de q facteurs égaux à e^, il est égal à e ' = e*", on a donc
[e'^ ) =eP, d'où e^ =Ve^.
Si l'on fait enfin y = — x dans la formule fondamentale, on a
e'.c-* = e*=l, d'où e-* = — •
Nous avons bien montré l'identité de la série i2. et de la puissance d'exposant x du nombre e, lorsque x est rationnel.
Lorsque x est un nombre irrationnel, nous appellerons, par définition valeur de e' la valeur de la série . 2 .
47. Variation de la fonction e*. — Lorsque x est positif, tous les termes de la série c* sont positifs et augmentent avec x; on en conclut que c* est supérieur à Funité et augmente avec l'exposant ; la fonction augmente du reste indéfiniment en même temps que x.
Lorsque x est négatif, si l'on représente par x' sa valeur absolue, on a
on en conclut que e* est inférieur à l'unité, diminue lorsque x' augmente et a pour limite zéro lorsque x' augmente indéfiuiment.^
Donnons à x deux valeurs voisines x et x-f- A ; la difîérence des valeurs correspondantes de la fonction est , .
nous allons montrer que cette différence tend vers zéro en même temps que h.
LA SÉIUE e ET LA FONCTION e' 55
Nous avons en effet
et nous avons vu (n° 44) que R a l'une des valeurs
suivant que A est positif ou négatif. Le second membre de Tégalité (7) se compose d'un nombre limité de termes qui tendent tous vers zéro avec h ; nous en concluons qu'il en est de même de leur somme, et que la différence e*-*"* — e* tend aussi vers zéro avec A.
On énonce cette propriété en disant que la fonction e* est continue ; pratiquement, cela signifie qu'elle varie de quantités très petites lorsque X varie lui-même de quantités très petites.
Nous admettrons, comme une conséquence de ce qui précède, que si X varie d'une manière continue entre deux valeurs Xq et Xi, c'està-dire en passant par toutes les valeurs intermédiaires, e* passe également par toutes les valeurs comprises entre e*« et e**.
Les résultats que nous avons obtenus peuvent être énoncés de la façon suivante :
Théorème. — Lorsque x croît de — oo à -hoc, la fonction e* croît d^une manière continue de 0 à H- oo ; elle a la valeur i pour x = 0 et la valeur e pour x=l.
48. Limite de — r — . — Il résulte du calcul que nous avons fait précédemment pour obtenir la formule (7) que l'on a e* — i 1 . A . A"-* A" e .
A 1 1.2 1.2 ... 71 1.2 ... n /i-f-ldiA
les termes du second membre sont en nombre limité, et ont, sauf le premier, pour limite zéro quand A tend vers zéro; on en conclut que la limite de l'expression considérée est l'unité quand A tend vers zéro.
49. Logarithme népérien. — Si l'on pose il résulte des propriétés de e" qu'à tout nombre positif X correspond un
.'Î6 COMPLÉHEMTS D*iLGÈRIIE
nombre algébrique x et un seul ; on l'appeile le logarithme népérien X, et on le désigne par la notation
X = log X ;
emploie quelquefois le sjinbole Iog„ ou la lettre L pour désigner le arithme népérien.
Un nombre X supérieur à l'unité a un logarithme positif ; un nbre inférieur à l'unité a un logarithme négatif; le nombre I a ir logarithme 0, et le nombre e a ponr logarithme 1. Un nombre i petit a un logarithme négatif très grand en valeur absolue, et l'on qu'à la limite le logarit! me de 0 est — œ .
