CHAPITRE I

57. Grandeurs mesurables. — Lorsqu'une grandeur A est comparable à une grandeur de même espèce U prise comme unité, le rapport de A à son unité U est un nombre qui est appelé la mesure •de la grandeur A ; les longueurs, les poids, les intervalles de temps, etc., -sont des grandeurs mesurables.

Il existe d'autres grandeurs que Ton ne peut comparer directement à une unité, mais dont la variation est intimement liée à celle d'une autre grandeur que Ton peut mesurer; par exemple, la température ne peut être mesurée directement, mais sa variation correspond à •celle du volume d'une masse de gaz ou d'une masse de mercure, et chaque état de la température est caractérisé par un nombre hi sur Téchelle thermométrique ; nous dirons par extension que les grandeurs de cette espèce sont encore mesurables.

Les grandeurs mesurables jouissent ainsi de cette propriété qu'à -chacun de leurs états correspond un nombre qui en est la mesure directe ou indirecte ; ce sont les seules grandeurs que l'on peut ■soumettre au calcul, et nous les considérerons seules désormais. Toute relation entre des grandeurs dépendant les unes des autres, par

VoCT. — Math. sup. 5

66 PRINCIPKS DE GÉOMÉTRIE AXALYTIQ['E

exemple, entre les éléments dune même figure géométrique, ou bien entre le volume et la pression d'une masse gazeuse, etc., se traduit par une formule, c'est-à-dire par une égalité ou une inégalité entre les résultats de certains calculs arithmétiques ou algébriques effectués sur les mesures de ces grandeurs.

58. Grandeurs fondamentales el grandeurs dérivées. — Choix des unités. — Les différentes grandeurs que l'on étudie ne sont pas indépendantes, et l'on est amené à faire entre elles une distinction ; on considère d'une part les grandeurs fondamentales, qui ne sont pas réductibles les unes aux autres, telles que la longueur, le temps, etc., et les grandeurs dérivées qui sont réductibles aux premières. En géométrie, les surfaces et les volumes sont des grandeurs dérivées des longueurs. En mécanique et en physique, la longueur, la masse et le temps sont des grandeurs fondamentales; la vitesse, la force, la puissance sont des grandeurs dérivées.

La liaison qui existe entre une grandeur dérivée et les grandeurs fondamentales dont elle dépend s'exprime par ce que Ton appelle une équation de dimensions.

En géométrie, par exemple, une surface S est équivalente au carré construit sur une longueur L; si cette longueur devient m fois plus grande, S devient m* fois plus grand ; on exprime ce fait par la relation [S] = [L*] qui est l'équation de dimensions de la surface ; de même l'équation de dimensions d'un volume est [V] = [L^]. En mécanique, L, M et T désignant une longueur, une masse et un temps, la vitesse, l'accélération et la force sont des grandeurs dérivées des précédentes, ayant respectivement pour dimensions [LT-*], [LT-'^l, IMLT--].

Les unités adoptées pour mesurer les grandeurs soit fondamentales, soit dérivées peuvent être choisies séparément d'une manière arbitraire. Le système le plus simple que l'on puisse concevoir est celui où les unités dérivées sont liées aux unités fondamentales par les éiiuations de dimensions elles-mêmes ; dans un pareil système, que Ton appelle absolu, la formule qui relie les mesures d'une grandeur dérivée et des grandeurs fondamentales dont elle dépend, ces mesures étant effectuées à l'aide des unités correspondantes, ne diffère pas de l'équation de dimensions. Si l'on prend par exemple comme unité de

surface le carré construit sur l'unité de longueur, et si l'on désigne par s et l les mesures d'un carré et de son côté, on a « = /*.

Dans un système non absolu d'unités, la relation qui existe entre les mesures d'une grandeur dérivée et des grandeurs fondamentales dont elle dépend diffère de l'équation de dimensions par l'introduction d'un facteur numérique dans un des deux membres.

59. Mesure des angles. — Dans le système absolu, l'unité d'angle, que l'on appelle radian, est l'angle au centre d'un arc égal à l'unité de longueur dans une circonférence dont le rayon est égal à cette unité. On a alors entre les mesures d'un angle au centre quelconque et de l'arc qu'il intercepte dans une circonférence quelconque la relation

, j. mesure arc

mesure angle en radians =

mesure rayon

La mesure de quatre angles droits est 27t, et celle d'un angle droit est ^.

Si l'on prend la seconde comme unité d'angle, quatre angles droits valent 27c radians et 360x60x60 secondes ; on en conclut que l'on a

1 radian = '- r ■■ — secondes = 206 264,8 secondes.

On en déduit pour la mesure d'un angle au centre en secondes,

mesure arc

mesure angle en secondes — 266 264,8

mesure ravon

Remarque. — En trigonométrie, les arcs sont mesurés en prenant comme unité de longueur le rayon de la circonférence ; l'unité d'arc est celui qui est intercepté par un angle au centre égal à un radian.

Pour la commodité des calculs, les arcs sont évalués dans les tables de logarithmes en degrés, minutes et secondes, mais il ne faut pas oublier que toute relation entre un arc et ses lignes trigonométriques suppose ces grandeurs mesurées en prenant le rayon comme

unité ; l'arc de n^ a alors pour mesure —

Lorsqu'on écrit par exemple qu'un arc a inférieur à — satisfait à

l'inégalité

a 2> sm a >- a — -

et qu'on applique cette relation à l'arc de 1', on doit écrire

on en déduit

sin arc i' = 0,000 004 848 1 36 8 ,

avec 13 chiffres décimaux exacts.

60. Changement d'unités. — Nous allons résoudre le problème général suivant :

Etant donnée la mesure d'une grandeur évaluée au moyen de certaines unités, déterminer la mesure de la même grandeur évaluée au moyen d'autres unités liées d'une manière connue aux premières.

Supposons d'abord qu'une grandeur A, qu'elle soit fondamentale ou dérivée, soit mesurée au moyen d'une unité de même espèce A« et ait pour mesure le nombre a ; nous nous proposons de trouver le nombre a' qui la mesure au moyen d'une autre unité Ai.

Écrivons que A est égale à a foi*; A© et à a' fois Ai : nous avons

A = oAo = a'k

de cette égalité entre des grandeurs nous déduisons une égalité entre des nombres en prenant les rapports de ces grandeurs à Ai ; nous avons ainsi

Nous voyons que la nouvcll? mesure, a' y est égale au produit de l'ancienne, «, par la mesure de l'ancienne unité au moyen de la nouvelle ; d'une manière générale, le rapport des mesures est égal au rapport inverse des unités.

Pour donner un exemple, considérons la surface d'un triangle sphérique d'angles A, B, C; lorsqu'on prend l'angle droit comme

unité d'angle et le triangle trirectangle comme unité de surface, les mesures s^ a, b, c de la surface et des angles sont liées par la formule

5 = a-hb-\-c — 2;

nous nous proposons de trouver la mesure s' du triangle en mètres carrés, au moyen des mesures a', b', c' des angles en radians ; nous désignerons par r la mesure du rayon de la sphère en mètres.

La première unité de surface, évaluée au moyen de la seconde, a

pour mesure le huitième de la sphère, ou ^Tcr* ; de même la première

unité d'angle, évaluée au moyen de la seconde, a pour mesure

— ; on a par suite

5' = s.— Tcr% a' = a—, b' = b—, c' = c—,

et la formule donnée conduit à la suivante :

s^^^a'-hb'-hc' — ity.

61. Cas des grandeurs dérivées. — Supposons qu'une grandeur dérivée A ne soit pas mesurée directement, mais dépende de plusieurs grandeurs B, C, ... que Ton mesure au moyen d'unités B», Go, ... ; soient 6, c, ... les mesures de ces dernières grandeurs. Nous supposons que le nombre a qui mesure A est fourni par une formule monôme telle que

a = pifc^c^ • • • »

où p, Y, ... sont des exposants donnés, et tj. un coefficient numérique.

Supposons maintenant que l'on évalue B, C, ... au moyen de nouvelles unités B^,C^, ... et que la mesure a' de A soit liée aux nouvelles mesures b\c\ ... de B, C, ... par la formule

ji' pouvant différer de |a ; nous allons chercher la relation qui existe entre a et a'.

En divisant membre à membre, nous avons

a ~ fx \b) \c)

b' d d après ce que nous avons vu précédemment, les rapports y — ' • • •

sont égaux aux rapports inverses des unités, nous avons donc la relation cherchée sous la forme suivante :

Comme exemple, cherchons la relation qui existe entre les mesures d'une même puissance en chevaux-vapeur et en kilowatts.

La puissance, dont Téquation de dimensions est [P] = [LFT-'], a pour mesure en chevaux-vapeur

l, f (ii l étant les mesures d'une longueur en mètres, d'une force en kilogrammes-poids, et d'un temps en secondes ; en kilowatts, elle a pour mesure

/', f et l' étant les mesures en centimètres, dynes et secondes. Nous avons

Comme les rapports des unités sont

nous avons

Si /? = 1 , nous voyons qu'un cheval-vapeur a pour mesure /y = 0,735 5 kilowatt;

Si /)' =: 1, un kilowatt a pour mesure p = 1,359 6 cheval-vapeur.

62. Homogénéité des formules. — Toute relation entre des grandeurs dépendant les unes des autres est exprimée par une formule ren-

fermant les mesures de ces grandeurs. Pour donner a une telle formule toute la généralité possible et la faire servir à tous les cas, on laisse les unités arbitraires, c'est-à-dire indépendantes des grandeurs considérées, et Ton représente par des lettres les mesures de ces dernières. La manière dont ces lettres entrent dans une formule n'est pas arbitraire ; elle doit satisfaire à certaines conditions que nous allons indiquer et que Ton appelle conditions iV homogénéité.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où toutes les grandeurs considérées sont de même espèce et évaluées au moyen d'une même unité de cette espèce ; nous prendrons comme exemple, pour fixer les idées, une relation entre des lorigueurs. Soient A, B, C, X, Y des longueurs connues ou inconnues dont les mesures au moyen d'une même unité Lo sont a, b, c, Xy y\ supposons qu'il existe entre ces longueurs une relation traduite par une égalité de la forme

f et g étant des expressions contenant les lettres placées entre parenthèses.

D'après la nature même des raisonnements employés pour établir la relation qui existe entre les longueurs, cette relation doit être indépendante de l'unité choisie, et elle sera également traduite par une formule de même forme que la précédente entre les mesures des longueurs effectuées au moyen d'une autre unité Lq. Si a', b', c', x'^ y' sont ces nouvelles mesures, on doit avoir l'égalité

(2) fia', b', c', X', y') = g{a', b', c', x', y') .

Mais nous avons vu (n° 60) que Ton a entre les mesures les relations

a b c X y Li '

si nous représentons par k le rapport des unités Lo et Lo, les nouvelles mesures sont égales aux premières multipliées par k; en remplaçant dans l'équation (2) a' y b', c'y x'y y' par /ca, kby kc, kx, ky, elle devient

(3) f{^(^f ^i>y f^Cf ff^> %) = ff(^^^ ^^J ^^S ^^y %)•

Les équations (1) et (3) doivent être en même temps satisfaites,

et cela quelle que soit la valeur de k ; il en résulte que cette lettre doit disparaître identiquement de Téquation (3) ou entrer dans un facteur commun aux deux membres, de façon que la division par ce facteur commun redonne l'équation (1).

Ainsi donc, toute relation telle que (i) entre les mesures de grandeurs de même espèce doit satisfaire à la condition de ne paschanger lorsqu'on multiplie toutes ces mesures par un même facteur arbitraire A"; c'est ce qu'on appelle la condition d'homogénéité.

Par exemple, la formule a^ = h^ -\~ c'^, qui existe entre les mesures des côtés d'un triangle rectangle satisfait bien à la condition précédente, car si Ton multiplie a y b, Cy par h,, on obtient une relation dont on peut diviser les deux membres par A'*, et l'on retrouve de cette façon Téquation primitive.

On dit qu'une expression composée au moyen de plusieurs lettres. a, by Cy X, y, réunies par les symboles de l'algèbre : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction de racines, est homogène si en y remplaçant ces lettres respectivement par ka^ kby kc, kx, Ai/, on obtient une nouvelle expression qui est égale au produit de la première par une certaine puissance de A; le degré de cette puissance est appelé degré d'homogénéité; par exemple, les expressions

x^~\-a^ \fx ^-yfg

sont homogènes et de degrés respectifs 2, 0, — — •

Si une relation entre des grandeurs de même espèce est traduite par une formule telle que (1) dont les deux membres sont composés algébriquement comme nous venons de le dire, les deux membres f et g doivent être respectivement homogènes et du même degré d'homogénéité, car sinon la lettre A ne pourrait pas disparaître de la relation (3).

La notion d'homogénéité s'étend aux expressions quelconques,, algébriques ou transcendantes; par exemple, les expressions

a . x-\- u sm -r -> loi? —

sont homogènes et de degré zéro, car si l'on multiplie a, b, c, x, y

et par deux autres analogues pour b' et c'. Si nous représentons

par ki, ki et Ara les rapports -=^ , —, ^, nous avons

Lo Mo lo a' = ayt:*î^, b = bk^'k^^kt, c = ckfk^'k^'.

D'après un raisonnement analogue à celui que nous avons fait

par un nombre A-, on forme de nouvelles expressions qui ne diffèrent

pas des premières. Les seuls cas où Ton ait à utiliser des expressions

transcendantes dans des relations entre des grandeurs sont ceux où 'Ç^

le signe transcendant porte sur une quantité algébrique et homogène

de degré zéro.

63. Homogénéité dans le cas des grandeurs dérivées. — Plaçonsnous dans le cas où Ton établit une relation entre des grandeurs d'espèces différentes, fondamentales ou dérivées. On peut toujours supposer que ces grandeurs sont toutes dérivées d'un certain nombre de grandeurs fondamentales ; il suffît alors de déterminer les mesures de ces grandeurs fondamentales pour en déduire celles de toutes les autres.

Supposons, pour fixer les idées, que les grandeurs fondamentales soient une longueur L, une masse M et un temps T, et que Ton considère trois grandeurs A,B,C, dérivées des précédentes; soient

[A] = [L*M^^, [B] = [L"'M^'r'], [C] = [L'^M^Vj

les équations de dimensions de A, B, C.

Leurs mesures a , b, c sont déterminées au moyen des mesures L m, t de L, M et T par des formules de la forme

où jx, fjL^ et u" sont des facteurs numériques donnés.

Lorsqu'on change les unités de longueur, de masse et de temps sans changer «x, fx' et {jl", les nouvelles mesures de A,B,C sont liées aux premières, comme nous Ta vous vu au n° 61, par la formule

MoWToV

7i PRJ5CIPES DE GÉOMÉTRIE A>ALTnOUE

'n^ 62 . toute relation entre les grandeurs A. B. C. exprimée par une formule telle que

doit être indépendante des unités choisies: si l'on y remplace a,h, c par a\ h', c et ces dernières quantités par les expressions précédentes, la formule obtenue,

ivy. r^f(]f*i^i bkiki'k^. ck]'kiki\

= g aklklkl bk]k;kl\ ck]'k{k'^) ,

doit être identique à la première quelles que soient les valeurs de ki^ hii^%\ ^^^ paramètres doivent disparaître identiquement ou entrer dans un facteur commun aux deux membres.

Si f et g sont des expressions algébriques, les deux membres de l'équation (5y ne peuvent différer des membres correspondants de Téq nation [i) que par un facteur de la forme

et les exposants doivent être les mêmes dans les deux membres; f et g sont alors dits homogènes par rapport aux grandeurs fondamentales et de degrés d'homogénéité respectivement égaux à lUi, m^, m^ par rapport à ces grandeurs.

On peut vérifier l'homogénéité d'une formule de la façon simple suivante : on remplace la mesure de chaque grandeur par l'expression des dimensions de celte grandeur, et Ton évalue de proche en proche les dimensions des différents termes ; les deux membres doivent avoir les mêmes dimensions et des exposants égaux ; ces exposants sont précisément les degrés d'homogénéité.

Considérons par exemple la formule du pendule simple,

les dimensions du temps, de la longueur et de l'accélération sont respectivement fTJ, [L], [LT-"=^]; 7c est un coefficient numérique, de sorte que les deux membres ont la même dimension fT] ; la formule est donc bien homogène.