Contour des cordonnées. — Distance de deux points. — Les
projections d'un segment OM d'origine 0 faites sur chacun des axes parallèlement au plan des deux autres ont pour valeurs les coordonnées du point M ; de plus, si Q est le sommet du parallélogramme dont OP et OPi sont deux côtés, les segments OP , PQ , QM dont la résultante est OM ont aussi pour valeurs les coordonnées de M ; le contour OPQM est appelé contour des coordonnées du point M.
Ëtant donnés deux points M et M' de coordonnées [x, y, z)
et {x\ y\ z') [fiff, 33), nous voyons comme au n^ 78 que les projections du segment MM' sur les axes sont respectivement égales aux différences des coordonnées de l'extrémité et de l'origine, c'est-à-dire à x' — or , y' — y ,
Rî
Ri
Si Ton construit le parallélipipède dont M et M' sont deux sommets opposés et dont les faces sont parallèles aux plans de coordonnées, les projections de MM' sont identiques aux se^ents MR, MRi, MR2 représentés par
Fig. 33.
les trois arêtes de ce parallélipipède issues du point M. Pour déterminer la distance d des points M et M\ il suffit de remarquer que l'on a
aW^ = MSV MHa' = HEV MRl'-h HRs' ;
d'où, en remplaçant les segments par leurs valeurs, on obtient la formule
d^ = (X' - xY + (y' y )» + [z' - ZY .
100. Représentation des surfaces. — Considérons une équation entre les trois coordonnées x, y, z ; soit par exemple
supposons qu'on la résolve par rapport k z, et qu'elle fournisse, pour fixer les idées, deux valeurs de cette variable ; nous les appellerons
à chaque système de valeurs des coordonnées x et y représentées
par un point tel que Q du plan des xy correspondent deux points
M et M' de Tespace [fîg. 34) dont les cotes ont les valeurs (3); lorsque Q se déplace dans tout le plan xOy, Tensemble des points M et M' forme une surface.
Inversement, si Ton donne une surface, toute parallèle à Fun des axes, par exemple à Taxe des z, la coupe ordinairement en un ou plusieurs points M, M', ... ; la cote de chacun d'eux dépend des coordonnées x et 1/ du point Q où
la parallèle rencontre le plan des xy , de sorte qu'il existe une relation
telle que
entre les coordonnées d'un point de la surface ; celle-ci est donc représentée par une équation entre les coordonnées de chacun de ses points.
Fig. 34.
COORDONNÉES DANS l'eSPACE
Une surface est souvent définie par une propriété géométrique commune à tous ses points ; il suffît de traduire cette propriété par une relation entre les coordonnées pour avoir Téquation de la surface. Par exemple, une sphère de rayon R ayant pour centre Torigine est telle que la distance OM de ce point à un point de la surface est égale à R ; d'après ce que nous avons vu au n° précédent, on a entre les coordonnées x, y, z de chacun des points tels que M la relation
c'est Téquation de la sphère.
De la même manière, Féquation d'une sphère ayant pour centre un point de coordonnées a?o, yo» sq et pour rayon R est
[x - xoY -h {y- yoY -H (^ - Vj* = R*.
101. Cas des cylindres. — Considérons un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Oz et dont la base est une courbe C située dans le plan des xy [fîg. 35) ; soit
Féquation de cette courbe dans son plan ; je dis que cette équation est
aussi celle qui représente dans Tespace la surface cylindrique considérée.
Soit en effet G une génératrice du cylindre passant par
le point Q de la courbe C;
les coordonnées x ^i y de tous les points M de G sont les mêmes que celles de Q et satisfont à l'équation (4) ; inversement, comme celle-ci ne renferme pas z, on peut dire qu'elle est satisfaite par tous les points de la génératrice G passant par un point quelconque Q de la courbe C ; elle Test par suite par tous les points de la surface cylindrique ; elle représente par conséquent cette surface.
Ainsi donc, une équation entre deux variables x et y représente
dans lespace un cylindre parallèle à Oz , et en géométrie plane la trace de ce cylindre sur le plan des xy ; de même, une équation ne renfermant pas x ou y, représente un cylindre parallèle à Taxe des X ou à ïaxe des y.
102* Représentailoii des lignes. — Considérons deux équations
entre x, y, z ; soient
supposons qu'on les résolve par rapport à ^ et z et qu'elles fournissent un ou plusieurs systèmes de valeurs tels que
à chaque valeur de x représentée par un point P de Ox [fig. 36)
correspondent un ou plusieurs points de l'espace tels que M dont les coordonnées y et z ont les valeurs (G) ; lorsque P se déplace sur Ox, Tensemble de ces points M constitue une ligne.
Inversement, si Ton donne une ligne C, tout plan parallèle à Tun des plans de coordonnées, par exemple au plan des yz, la coupe ordinairement en un ou plusieurs points tels que M; Fordonnée (PQ) et la cote (QM) de Tun d'eux dépendent de Tabscisse (OP) du point où le plan coupe Taxe des Xy et il existe deux relations telles que (G) entre les coordonnées d'un point de la ligne ; celle-ci est donc représentée par deux équations entre les coordonnées de ses points.
Chacune des deux équations telles que (5) qui définissent une ligne représente elle-même une surface ; les points communs aux deux surfaces ainsi obtenues sont ceux dont les coordonnées satisfont à la fois aux deux équations, c'est-à-dire ceux qui appartiennent à la ligne considérée ; on dit alors que celte ligne est l'intersection des deux surfaces représentées par ses deux équations.
COORDONNÉES DANS l'eSPACE 125
Si Tune des deux équations, ou une combinaison que Ton en déduit, ne renferme que deux des coordonnées, si elle a par exemple la forme
de la première des équations (6), elle représente un cylindre parallèle à Oz et passant par la ligne ; on dit que c'est le cylindre projetant la ligne parallèlement à Taxe des z . La même équation représente aussi, dans le plan des xy, la trace de ce cylindre, c'est-à-dire la projection Ci de la courbe C sur le plan xOy, En formant de même une combinaison ne renfermant pas y, c'est-à-dire en éliminant y entre les deux équations de la ligne, on obtient l'équation du cylindre projetant parallèlement à Oy^ et aussi celle de la projection de la ligne sur le plan xOz ; l'élimination de x conduirait de même à Téquation du cylindre projetant parallèlement à Ox et à celle de la projection de la ligne sur le plan des yz .
Il arrive souvent que les trois coordonnées d'un point sont exprimées au moyen d'un même paramètre variable ; Tensemble des points correspondant à toutes les valeurs de ce paramètre constitue une ligne. Supposons en effet que l'on ait des relations de la forme
où l est un paramètre variable ; à chaque valeur de x correspondent une ou plusieurs valeurs de ty et à chacune d'elles une valeur de y et une de z ; ces deux dernières coordonnées sont donc liées à x par des relations de la forme (6), et ces équations représentent une ligne ; en éliminant t' entre les équations données, on obtiendrait les deux équations de la ligne.
Soient par exemple les équations
a: = Rcos©, y = Rsin{p, z = R cos ç -h R sin <p,
où (p est un paramètre variable ; l'élimination de cp conduit aux deux équations
la première représente un plan, comme nons le verrons, et la seconde, un cylindre de révolution de rayon R ayant pour axe Oz ; la ligne est l'intersection de ces deux surfaces, et l'on démontre en géométrie qu'elle est une ellipse.
te*''
103. Ordre d'une surface ou d*u ne courbe algébriques . — On appelle surface algébrique une surface dont Téquation est algébrique par rapport aux trois variables x, y y z ; si Ton rend cette équation rationnelle et entière et si Ion fait passer tous les termes dans le premier membre, elle prend la forme
f(^> y y -) = Oi
où f est un polynôme entier en x, y, z\ le degré de ce polynôme est appelé Tordre de la surface.
Nous démontrerons plus tard que Tordre d'une surface est égal au nombre de points réels ou imaginaires de rencontre de cette surface avec une droite quelconque ; une surface du premier ordre est rencontrée par une droite en un seul point ; nous verrons qu'elle est un plan ; une surface du second ordre est rencontrée par une droite en deux points ; on Tappelle quelquefois quadrique.
Une section plane d'une surface algébrique est, comme on peut le voir, une courbe plane algébrique ; elle est rencontrée par une droite de son plan en un même nombre de points que la surface, par conséquent elle a même ordre que la surface ; ainsi toute section plane d'une surface du second ordre est une courbe du second ordre.
L'intersection de deux surfaces algébriques est appelée ligne algébrique ; on appelle alors ordre de cette ligne le produit des ordres de ces deux surfaces; nous démontrerons plus tard qu'il est égal au nombre des points de rencontre de la ligne avec un plan quelconque ; par exemple la courbe d'intersection de deux quadriques est une ligne du quatrième ordre.
On désigne en général sous le nom de ligne algébrique une ligne dont les coordonnées s'expriment algébriquement au moyen d'un même paramètre ; on appelle ordre de cette ligne le nombre de ses points de rencontre avec un plan quelconque.
104. Équations d'une droite. — La manière la plus simple de déterminer anal}iiquement une droite consiste à donner les coordonnées Xo, yoi 2o d'un de ses points Mo, et les angles a, p, y que fait avec les axes de coordonnées une direction positive choisie sur celte droite. Si nous prenons sur cette ligne, à partir de Mo, un seg-
COORDONNÉES DANS l'kSPACE
ment MqM égala p [fig, 37), et si x, y, z sont les coordonnées de
Textrémitc M de ce segment, nous savons que les projections sur Ox, Oy et Oz de MqM sont égales aux différences entre les coordonnées de ses deux extrémités ; nous pouvons donc écrire
(8) X — jro = pcosa, y — î/o = pcosp, z — 2o = p COS y .
Fig. 37.
L'élimination de p entre ces équations nous donne les relations
x — xç^ y
cosa
- .Vo ^ g — gp .
cosp COS Y
ce sont deux équations du premier degré satisfaites par les coordonnées de tous les points de la droite ; nous voyons donc qu'u/ie droite est représentée par deux équations du premier degré.
On peut choisir simplement le point Mo et supposer par exemple que c'est le point P de la droite situé dans le plan des xy ; on a alors 2^^ = 0. Les équations (9) peuvent s'écrire dans ce cas
cosa
Xfi ;
COS Y on les met ordinairement sous la forme
cosB
