OPdred'une Bi* • " V.. .V'-' ^') ' *' "''"^ désignons

irface algéh"-' ' ,- -'„„,«- d'après les équations (8),

aux w- 'lit,- ^,.cneR. I, — ï„=:D,cnsv;

,n/'^"'",-, une droite passant par J'origine el par le point

■r, »/, s, vovoa^ que les équations d'une droite sont ordinairement de la

a ~ h ~ c ' liions montrer, inversement, que des équations de cette Torme m'eut une droite, et déterminer cette droite. lit en efTet Mo le point de coordonnées (i-o, yo, z,,) et M un ont les coordonnées x,y,z satisront aux équations (l-t) ; désipar f le segment MoM et par «. p, t '^s angles que fait sa m avec les trois a\es ; d"après les équations (S), les numérateurs ports (!.')) sont égauv à pcosa, pcosp, pcosf; onaparsuitc

cos a eos f( cos ï

~ir ~ ~h" ~ ^v~ '

la somme des carrés des numérateurs de ces Tractions est égale té (n" 72), on voit, en prenant la racine carrée de la somme rés des numérateurs et des dénominateurs, que chacune d'elles

le à j=^ - ■ ■ r - ■ par suite a, p, y sont déterminés par

ations ^^^^^ a ^ cosS= — ^ ■

COORDONNÉES DANS l'eSPACE 129

les radicaux étant pris chaque fois avec le même signe. Ces équations déterminent seulement, dans Fespace, deux directions qui sont directement opposées Tune à Tautre ; on en conclut qu'il y a une seule droite indéfinie passant par Mo et renfermant le segment MqM, et par suite le point M; les équations (13) représentent donc la droite que nous venons ainsi de déterminer.

Les nombres a,b,c auxquels sont proportionnels cosa, cos p et cos Y sont appelés coefficients directeurs de la droite.

105. Droites parallèles. — Angle de deux droites. — Droites rectangulaires.— Etant données deux droites, représentées respectivement par les équations

Jo — Xq ^ y — f/o ^ z — Zq abc

x — xi y — yi z — zi

la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient parallèles est

qu'elles fassent les mêmes angles avec les axes de coordonnées ; les

cosinus de ces angles, d'après les formules (14), sont respectivement

proportionnels h a, b, c et à a\ b\ c' \ nous en concluons qu'il faut

et il suffit que ces coefficients soient proportionnels, c'est-à-dire que

Ton ait

L'angle de deux droites est l'angle formé par les parallèles à ces droites menées par un point quelconque, par exemple par l'origine. Si les équations des deux lignes données sont sous la forme que nous venons d'indiquer, les parallèles qu'on peut leur mener par l'origine font avec les axes les angles a, p, y, a\ p', y' déterminés par les équations (14) pour la première, et par des équations analogues pour la seconde.

Nous avons vu au n° 73 que l'angle V formé par deux droites issues de l'origine est donné par la formule

cos V = cos a cos a' -f- cos p cos p' -+- cos y cos y' ;

nous avons donc, en remplaçant les cosinus par leurs valeurs,

-, aa' -h bb' -4- ce'

cos v = - •

±\/a^ -+- b' -f- c^ y/a" -H ^'' -^ <^" VoGT. — Math. sup. 9

Pour que les deux droites soient rectangulaires, il faut et il suffit que cos V soit nul, c'est-à-dire que Ton ait la condition

(15) aa''^bb'-hcc' = 0.

106. Équation d'un plan. — La manière la plus simple de déterminer analytiquement un plan consiste à donner les coordonnées {xo^yo^Zo) d'un de ses points, Mo, et les angles a, p, y que fait avec les axes de coordonnées une perpendiculaire à ce plan, ou, ce qui revient au même, les coefficients directeurs a, b, c de cette perpendiculaire.

Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y, z); nous allons écrire que la droite MqM est constamment perpendiculaire à la droite dont les coefficients directeurs sont a, b, c\ comme les cosinus directeurs de la première sont proportionnels aux différences X — Xo , y — t/o 1 2 — 2o , nous aurons, d'après la relation (15) du n** précédent,

(16) a (x — xo) -h 6 (î/ — î/o) -f- c (z — zo) = 0 .

C'est une équation du premier degré satisfaite par les coordonnées de tous les points du plan ; nous voyons de cette façon qu'un plan est représenté par une équation du premier degré.

Inversement, toute équation du premier degré, dont la forme générale est

(17) Ax-hB.t/H-Cz-hD = 0,

représente un plan; si nous supposons en effet A=?^0, et si nous

posons - = a;o, l'équation (17) peut s'écrire

A(x — Xo) -h By -I- Cz = 0 ;

sous cette forme elle exprime que la droite joignant le point (x, y, z) au point f\\^ (xq, 0, 0) est perpendiculaire à la droite dont les paramètres directeurs sont A, B, C ; or on sait que tous les points jouissant de cette propriété sont dans un plan perpendiculaire à cette droite ; la proposition se trouve donc démontrée.

Remarquons que les coefficients de x, y , z dans l'équation d'un plan sont identiques aux paramètres directeurs de toute perpendiculaire à ce plan ; cela nous permet d'écrire immédiatement d'une part

COORDONNÉES DANS L*ESPAGB 131

Téquation d'un plan perpendiculaire à une droite donnée (13), cette équation est (16); d'autre part, les équations d'une droite perpendiculaire à un plan donné ; une droite passant par un point (tq, y^y ^o) et perpendiculaire au plan (17) sera représentée par

xo y — yo z — zq