ABC

En général, pour trouver l'angle de deux plans, on cherche l'angle de deux droites menées respectivement perpendiculaires à ces plans ; on écrit que deux plans sont parallèles ou sont rectangulaires en écrivant que ces droites sont elles-mêmes parallèles ou rectangulaires. Si l'on considère, par exemple, deux plans représentés par les équations

Ax-hBy-hCjzH- D = 0,

les conditions pour qu'ils soient parallèles sont

A' B' C ' et la condition pour qu'ils soient rectangulaires est

AA' -4- BB' -f- ce = 0 .

Pour qu'une droite et un plan soient parallèles, il faut et il suffit que la droite soit perpendiculaire à une perpendiculaire au plan ; si la ligne et la surface sont représentées par les équations (13) et (17), il faut et il suffit que l'on ait

Aa -4- B6 -4- Ce == 0.

Nous donnons à la fin du volume (n^" 392 et 393) l'expression de la distance d'un point à un plan et celle de la distance d'un point à une droite.

107. Surfaces usuelles du second ordre. — Une équation homogène entre x, y, z représente une surface conique dont le sommer est l'origine; soient en effet x,, ^i, Zi les coordonnées d'un point

Ml de la surface ; d'après ce que nous avons dit (n** 62), Téquation sera satisfaite pour toutes les valeurs de x, y , z telles que Ton ait

et cela quel que soit k, cVst-à-dire par les coordonnées de tous les points de la droite joignant Torigine au point Mi ; on conclut de là que la surface renferme toute droite joignant Torigine à un point quelconque situé sur cette surface elle-même, par conséquent qu'elle est un cône.

Par exemple, l'équation

représente un cône ayant pour sommet Forigine ; comme sa section par le plan s = 1 est une circonférence représentée par Téquation X* -h î/"^ — ^ = ^1 on en conclut que le cône est de révolution autour de Taxe Oz .

On appelle ellipsoïde la surface représentée par Téquation

sa section par le plan des xy est une ellipse dont on a Téquation en faisant z = 0 dans celle de la surface; ses sections par les autres plans de coordonnées sont aussi des ellipses ; la surface est représentée par la figure 12!.

On appelle hyperboloïde à une nappe la surface représentée par Téquation

sa section par le plan des xy est une ellipse ; ses sections par les plans des xz et des yz sont des hyperboles. On appelle hyperboloïde à deux nappes la surface représentée par Téquation

le plan des xy ne la coupe pas ; les deux autres plans de coordonnées la coupent suivant des hyperboles. L'équation

COORDONNÉES DANS l'eSPACE

représente un cône ayant pour sommet rorigine, et qui est dit cône asymptote des deux hyperboloïdes précédents ; il renferme les asymptotes des h}T)erboles des sections de ces surfaces par les plans de coordonnées. La figure 123 représente les trois surfaces précédentes; l'hyperboloïde à une nappe entoure le cône asymptote, et celui-ci renferme les deux portions, symétriques par rapport au plan xOy, de Thyperboloïde à deux nappes.

On appelle paraboloïde elliptique et parabolotde hyperbolique les surfaces représentées par les équations

p et q étant positifs ; la première est coupée par les plans des xy et des xz suivant des paraboles ayant pour axe Ox et dirigées dans le même sens; elle est représentée par la figure 126; la seconde est coupée par les mêmes plans suivant des paraboles ayant pour axe Ox, mais opposées; elle est représentée par la figure 128.