CHAPITRE III

FORMULES DE TATLOR ET DE MAGLÂURIN

136. Formule de Taylor. — Si une fonction f[x) est continue dans un certain intervalle, et si a et 6 sont deux valeurs de x dans cet intervalle, la différence f[h) — f[a) s'annule en même temps que b — a ; la formule de Taylor a pour objet de mettre cette différence des valeurs de la fonction sous une forme où apparaissent une ou plusieurs puissances successives de la différence b — a des valeurs de 1^ variable.

Nous avons déjà rencontré (n* 129) la formule des accroissements finis

OÙ la première puissance de b — a est mise en évidence ; la formule de Taylor en est une généralisation, et elle la comprend comme cas particulier.

Tliéorème. — Si une fonclion f{x) est continue ainsi que ses n premières dérivées pour toutes les valeurs de x comprises entre deux nombres a et b et si elle admet pour ces valeurs une dérivée (a-f-i)* déterminée, on a

(2) m-f{a) = ^f'{a)+^t=^fi^a)+ .■■

1.2 .-. . n' ^ ' 1.2 ... (n + 1)' ^ '' c étant compris entre a et b.

Nous démontrerons ce théorème de la même manière que la formule des accroissements finis; désignons par P la quantité définie par Téquation

(3) f{b) - fia) = ^ fia) + ^^-V' fia) + • • -

1.2 ... n' ^^ i.2 . . . „(„ + l)*^' et considérons la fonction auxiliaire

- -C' -£V^ /•,«,/^N {b-xY-\

obtenue en faisant passer tous les termes de la relation précédente dans le ipcemier membre et remplaçant a par x partout sauf dans F qui^ par sa -définition mème^ ue 4épend. que de a et de 6 .

• Cette fonction F(x) s'annule idejûttiquement pour a:^= 6^ et aussi pour X = a d'après la relation (3) ; calculons sa dérivée en appliquant les règles de dériviation' des sommes et des produits; nous avons

. " (n-J- DCA — ari» p , ■