FORMULES DE TAYLOR ET DE MAGLAURIN

^(»-»-0(a;) est déterminée ; d'après le lemme du n° 128, elle s'annule pour une valeur telle que c comprise entre a et 6 ; camma le premier facteur ne devient pas nul, on a

ce qui démontre le théorème.

En remplaçant a par x et 6 par x^-k, b — a est égala A, et c est un nombre de la forme a;-|-ôA, 6 étant compris entre 0 et 1 ; la relation (2) prend alors la forme suivante, souvent usitée :

p-Hi>(a; + ôA)

La formule de Taylor consiste dans l'égalité (2) ou dans l'égalité [T)} ; en faisant /i -f- 1 = 1 , on retrouve la formule des accroissements finis.

137. Formule de Maelaurln. — Supposons la formule (2) de Taylor applicable dans un intervalle [0, x) et remplaçons-y a par 0 et 6 par X ; c sera un nombre de la forme ^x, 0 étant compris entre 0 et 1 , et Ton aura, en faisant passer /*(0) au second membre, la relation

(6) f{x)=f{0)-^frio)-^-~r{0)

c'est la formule de Maclaurin.

Lorsque f{x) est un polynôme de degré n, la dérivée d'ordre n -+- 1 est nulle (n® 119) ; les formules (5) et (6) sont alors limitées au terme de degré n, sans terme complémentaire; la formule (6) par exemple fournit le développement d'un polynôme de degré n ordonné suivant les puissances croissantes de la variable sous la forme

/(^)=AO)+fr(0)+f;^r(0)

Remarque. — On a quelquefois besoin pour le dernier terme de la formule de Maclaurin d'une autre expression que nous allons mentionner. Dans la formule (3) du n° précédent, remplaçons le dernier terme

j-^ ;^, ^.. P par -r-^ ^ — Q, et repetons le raison-

nement que nous avons fait; nous aurons à la place de la formule (4), la relation

d'où, en écrivant que F'(x) s'annule pour x = c,

en faisant a = 0, b = x, c = 6ic, on arrive à l'expression suivante du dernier terme de la formule de Maclaurin :

138. Calcul des quantités très petites. — Une des principales applications de la formule de Taylor consiste dans la détermination d'une valeur approchée de Taccroissement que prend une fonction lorsque Ton donne à la variable un accroissement très petit ; si Ton considère en effet la formule (5) et si h est très petit, les termes du second membre ont des valeurs décroissant très rapidement, et les premiers suffisent, dans la pratique, pour calculer une valeur approchée du premier membre. Le cas le plus simple de la formule de Taylor, c'est-à-dire là formule des accroissements finis écrite sous la forme (3) du n° 129,

f{x H- A) — f{x) = hf'[x -h 6A),

permet déjà de déterminer les limites entre lesquelles est comprise la différence f[x-\-h) — f[x) ; 6 est en général inconnu, mais si Ton connaît la plus petite et la plus grande valeur de la dérivée lorsque la variable est comprise entre x et x-\-h, on est certain que f'[x -\- 6A) est compris entre ces valeurs, et l'on en déduit les limites du second membre.

Considérons par exemple le logarithme népérien de x\ on a, en appliquant la formule précédente,