FORMULES DE TAYLOR ET DE MAGLAURIN

log(a:-h/i) — logx = A— --^,

et le second membre reste compris entre — et

X x-{-h Lorsqu'on a besoin de calculer au second membre de la formule (5)

un, deux, ou un nombre donné de termes, on a toujours la faculté de

prendre la valeur de n égale à ce nombre ; c'est précisément parce

que n est indéterminé dans la formule de Taylor et peut être choisi

comme on le veut dans chaque cas particulier que cette formule se

prête à toutes les applications. Si Ton se donne n, et si Ton prend

comme valeur approchée de f[x >+- A) — f{x) la somme

Terreur commise est égale au terme complémentaire

6 est en général inconnu, mais on connaît souvent une limite supérieure de la valeur absolue de la dérivée (n-f-1)* dans Tintervalle [xy X -\- h), et Ton en déduit une limite supérieure de la valeur absolue de R.

Les mêmes considérations s'appliquent à la formule de Maclaurin (6), qui sert à calculer f{x) lorsque x est une quantité très petite. Considérons comme exemple les deux fonctions sinx et cosx dont nous désignerons la première par f{x) et la deuxième par ^(x) ; ces fonctions et leurs dérivées successives ont pour valeurs (n° 116)

/■(x) sinx,

tp (x)-

COSX,

/■'(x) COS X,

— sin X ,

f{x) == — sin X,

— COSX,

/■"(x) — cosx,

sinx,

f"{x) sin X,

COSX.

On voit que les termes de ces suites, à partir du quatrième, sont respectivement égaux aux premiers, de sorte qu'ils se reproduisent

DÉBIVÉBS ET DIPFËREMIELLES

odiquement de quatre en quatre ; toutes ces dérivées sont du reste jnues, et l'on peut appliquer la formule de Maclaurin en donnant

une valeur quelconque.

Donnons à n la valeur t pour f[x) et la valeur 3 pour ^(x), emarquant que sîn 0 = 0 et cos 0^1; nous aurons les Tormules

me co^Hx est inférieur à l'unité en valeur absolue, nous voyons

Ton peut remplacer sinx par x ^ avec une erreurinférieure

valeur absolue de -r^ et, de même, qu'on peut remplacer cosj; 1 T- avec une erreur inférieure à ■