CHAPITRE IV FORMULES DE TATLOR ET DE MAGLAURIN

162. Formule de Taylor. — Si une fonction f[x) est continue dans un certain intervalle, et si a et 6 sont deux valeurs de x dans cet intervalle, la différence f[b) — f{a) s'annule en même temps que h — a ; la formule de Taylor a pour objet de mettre cette différence des valeurs de la fonction sous une forme où apparaissent une ou plusieurs puissances successives de la différence b — a des valeurs de la variable.

Nous avons déjà rencontré (n° 150) la formule des accroissements finis

où la première puissance de 6 — a est mise en évidence et où c est compris entre a et 6; la formule de Taylor en est une généralisation, et elle la comprend comme cas particulier.

Théorème. — Si une fonction f{x) est continue ainsi que ses n premières dérivées pour toutes les valeurs de x comprises entre deux nombres a et b, et si elle admet pour ces valeurs une dérivée (n + i)* déterminée, on a

(2) m-na)=^^f'{a)-^.^^^f'{a)+ ...