DÉRIVÉES DES FONCTIONS DR PLUSIEURS VARIABLES

Exemple, — Soit la fonction y définie par Téquation a;' -h y' — iaxy = 0;

sa dérivée est fournie par Téquation (10) qui donne

(3a:« — 3ai/) -h (3y« — Ux) yi = 0, d'où nous tirons

^ ax — y*

Ces considérations s'étendent aux fonctions implicites de plusieurs variables déiSnies par une ou plusieurs équations ; par exemple si une fonction z de deux variables a; et i^ satisfait à Téquation

le premier membre est, après avoir remplacé z par son expression en X et y y une fonction composée des deux variables indépendantes x et y ; elle est identiquement nulle et ses dérivées partielles par rapport à chacune de ces variables sont nulles ; nous avons ainsi les deux équations

(11) /•i^-z'ixzi^o, /';4-/'ix^;=o

qui déterminent les dérivées z^ et Zy .

Si z est défini par exemple par Téquation d'un ellipsoïde

/»■ Al» /•« '

6* ses dérivées sont fournies par les équations

qui donnent

161. Théorème d*Ealer sur les fonctions homogènes. — On reconnaît qu'une fonction f{x, y, z) est homogène et de degré m (n* 62) à ce que Ton a identiquement

f{kxyky,kz)=^l^f{x,yyz).

236 DÉBIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

Prenons les dérivées par rapport à k des deux membres de cette identité; le premier membre est une fonction composée de la forme /'(il, V, w) y les composantes étant

11 = fer, v = kyj w = kz\ elle a pour dérivée

le second membre a pour dérivée

En égalant les dérivées ainsi trouvées, et faisant ensuite Ar = 1 , nous arrivons à la formule

qui constitue le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes.