fi(i»-hi

la dérivée d'un terme de F(x) se compose de deux parties dont la première renferme la dérivée du second facteur, et la seconde la dérivée du premier facteur ; nous les avons écrites l'une au-dessous de Tautre. Chaque terme de la seconde ligne est égal et de signe contraire à un terme de la première, et la dérivée se réduit, après suppression de ces termes égaux et de signes contraires, à

Cette dérivée est bien déterminée dans Tintervalle (a. 6) puisque ^(A-t-D^x) est déterminée ; d'après le lemme du n^ 149, elle s'annule pour

FORMULES DE TATLOR ET DE MÂCLAURIN 239

une valeur c comprise entre a et 6 ; comme le premier facteur ne devient pas nul, nous avons

p — /•(ii-*-i)(c) = 0,

ce qui démontre le théorème.

En remplaçant a par x et 6 par x+A, 6 — a est égal à A, et c est un nombre de la forme x + OA, 0 étant compris entre 0 et i ; la relation (2) prend alors la forme suivante, souvent usitée :

La formule de Taylor consiste dans Tégalité (2) ou dans Tégalité (5) ; si Dous y faisons n + i = i, nous retrouvons la formule des accroissements finis.

163. Formule de Madaurin. — Supposons la formule (2) de Taylor applicable dans un intervalle (0, x) et remplaçons-y a par 0 et 6 par x; c sera un nombre de la forme dx, 0 étant compris entre 0 et i, et nous aurons, en faisant passer f{0) au second membre, la relation

(6) /^(x)=/(0) + ^nO)-<-oAO)-4----

c'est la formule de Maclaurin.

Lorsque f{x) est un polynôme de degré n, la dérivée d'ordre n+ i est nulle (n* 140) ; les formules (5) et (6) sont alors limitées au terme de degré n, sans terme complémentaire; la formule (6) par exemple fournit le développement d'un polynôme de degré n ordonné suivant les puissances croissantes de la variable sous la forme

A«)=m+f r(0)+ il no)+ ••• +ï-:2^^/^<">(0).

Remarque. — On a quelquefois besoin pour le dernier terme de la formule de Maclaurin d'une autre expression que nous allons mentionner. Dans la formule (3) du numéro précédent, remplaçons le dernier terme

-r—^ 7 j^P par -z-^ ^Q, et répétons le raisonne-

ment que nous avons fait; nous aurons à la place de la formule (4) la relation

d'où nous tirerons, en écrivant que F'(x) s'annule pour x = c,

en faisant a = 0, 6 = x, c = ôx, nous arriverons à l'expression suivante du dernier terme de la formule de Maclaurin :

104. Formule de Taylor pour les fonctions de plusleors variables.

— Nous allons généraliser la formule de Taylor (5) et l'étendre aux fonctions de deux variables x et y ; le raisonnement s'appliquerait immédiatement au cas d'un nombre quelconque de variables ; nous allons développer l'expression f{x-hh, y-\-k) suivant les puissances des accroissements h et k.

Considérons la fonction suivante de la variable auxiliaire t :

F{l) = f{x-\-hl,y-+-kt), et appliquons-lui la formule de Maclaurin (6) :

F(0 = F(0)-H-|F(0)4.jî^P(0)-h . . . ^-J:L F(«)(0)

F est une fonction composée que nous pouvons écrire sous la forme F(l) = f{u,v), en posant h = x + A<, t; = y -+-/cf ; sa dérivée première par rapport à t est (n® 159)

F'{t) = /"„'ii'4- A'«;= A/ï-i- kfi ;

FORMULES DE TAYLOR ET DE HACLAUntN

sa dérivée seconde est

F\t) = h{hf:, -h kfi) H- k[hf:, ^ kfu) = ay;. ^ 2hkfi, + a>/:. ;

nous calculerions de même les suivantes ; nous constaterions qiie leurs valeurs sont analogues aux développements fournis par la formule du binôme et ont la forme générale

nous ferions voir du reste comme au n® t6 que la formule est générale en montrant que si elle est vraie pour n, elle le&t encore pour /î n- L Nous écrirons symboliquement

en convenant de développer le second membre suivant la formule du binôme, et de remplacer dans le développement un produit tel que (fW')-' par f<:^^.,.

En faisant t = 0 dans les dérivées successives, ti et v dcvien* nent égaux à x et y; nous avons alors potir développement de F{t)

Faisons enfin t = 1 dans cette formule, nous obtiendrons le résultat cherché

pour calculer le dernier terme, on prend les dérivées d'ordre n -^ \ de r<^7 y) P*"* rapport à x et à y telles qu'elles sont indiquées dans k* développement de la puissance symbolique {hfl-hkfif''^^\ et Ton remplace dans le résultat x par x-hhh, et // par y-h&A'.

De cette formule de Taylor on déduit une formule de Maclauriti donnant le développement de f{x, y) suivant l^s puissaiiees de x et VoGT. Malh. sup. 16

de y ; on remplace dans la formule précédente x et y par h et k, et inversement, puis on fait h et k égaux à zéro.

Remarque. — Si f[x, y) est un polynôme d'ordre n, ses dérivées partielles d'ordre n-hl sont toutes nulles, et les seconds membres de la formule de Taylor et de celle de Maclaurin sont limités aux termes de degré n , sans terme complémentaire.

Comme application, considérons le polynôme du second degré

/•(x, y) = Ax« -+- 2Bxy 4- Cy* -h 2Da; H- 2Ey -f- F ,

et formons le développement de f{x -h h, y -^ k) d'après la formule (8) ; nous avons

mais les dérivées secondes de / ont pour valeurs

/x'. = 2A, Av = 2B, /;. = 2C;

nous avons par suite (9) f{x-hh,y-^k)=f{x,y)-hhfi-hk/l-^Ah^-h2Bhk + Ck\

165. Maxima et mlnima d'une fonction d'une variable. — Nous avons vu dans le chapitre II comment la recherche des maxima et mlnima d'une fonction résuite de l'étude de la dérivée première de cette fonction ; nous allons montrer qu'elle peut se faire aussi au moyen de la formule de Taylor. La méthode que nous allons indiquer ne nécessite pas, comme la première, Texamen du signe de la dérivée dans des intervalles successifs ; par contre elle exige le calcul de certaines dérivées d'ordre supérieur au premier ; de plus elle n'est applicable que dans le cas où les dérivées à calculer sont finies et continues pour les valeurs de la variable que l'on a à considérer ; c'est là une restriction à laquelle n'est pas assujettie la première méthode.

Soit f[x) une fonction finie et continue dans un certain intervalle ; nous supposons que pour toute valeur Xq de cet intervalle les dérivées successives f\x), f\x), . . . sont également finies et continues, au moins jusqu'à la première qui n'est pas nulle pour x=Xf^. Dans ces conditions, en supposant que f^^^^^x^) soit le premier terme non nul de la suite /'(x,,), fix^), . . . , nous pouvons toujours écrire la formule de Taylor réduite à un terme sous la forme

(Il /(xo+ A) - fix,) = ^^ .^""|n.n) /^^"*"(^o + ÔA).

D'après les hypothèses faites sur la continuité des dérivées, /^■^*>(xo -hOA) diffère peu de /■<"+*> (a?o), par suite cette dérivée n'est pas nulle et a le signe qu'elle possède pour x^ lorsque h est en

valeur absolue inférieur à un nombre convenablement eboisi ; pour toutes ces valeurs de h^ le premier membre de Téquation (1) a toujours le signe de A""^* si /"^""^'Mx^) est positif, et toujours le signe opposé dans le cas contraire.

Si n-f-1 est impair, la différence /(xo-h A)— /(xq) change de signe en même temps que h ; la fonction f[x) n'est pas maximum ou minimum pour x =■ x^.

Si n -f- 1 est pair, la différence f\x^ -^ h) — /"(xq) a toujours le même signe pour les valeurs de h considérées, qu'elles soient positives ou négatives. Si /"^"^^^Xq) est positif, cette différence est positive, la valeur de la fonction /(x) pour x = x^ est inférieure aux valeurs voisines, et cette fonction est minimum pour la valeur Xq de la variable.

Si au contraire /^"**^(xo) est négatif, la valeur de f[x) pour a? = X0 est supérieure aux valeurs voisines, et cette fonction est maximum pour cette valeur de la variable.

Il résulte de là que la dérivée première /'(x) doit être nulle pour toutes les valeurs de x comprises dans Tintervalle où /(x) est continue, et rendant cette fonction maximum ou minimum ; on est ainsi amené, pour trouver les maxima et minima de /(x\ à résoudre T équation fXx) = 0.

Mais toute racine Xq de cette équation ne donne pas forcément un maximum ou un minimum ; pour le reconnaître, il faut calculer les dérivées successives /""(x), /*'"ix), ... en s'arrêtant à la première qui n'est pas nulle pour x =: x^. Si elle est d'ordre pair, ce qui a lieu ordinairement, car fix^) n'est pas nul en général, il y a maximum ou minimum : maximum si la dérivée est négative, minimum si elle est positive. Si elle est d'ordre impair, il n'y a pour x = Xo ni maximum ni minimum.