Maxima et minima d'une fonction de plusieurs variables
— Les mêmes considérations s'appliquent aux fonctions de plusieurs variables dans les intervalles où la formule de Taylor est applicable.
Considérons une fonction de deux variables f[x, y) ; on dit qu'elle est maximum pour (xq, y^) si Ton a
A-^o» yo) > A^o ^h^y^-h A), pour h et k suffisamment petits, aussi bien positifs que négatifs ; on
dit qu'elle est iDinimam pour les mêmes valeurs si Y<m a
/(^ot ,yo) < fi^o -^ *; yo H- *)
dans les mêmes conditions. Nous allons déterminer les valeurs des variables rendant la fonction maximum ou minimum.
Supposons d'abord que pour x = x^ et y = y© l«s dérivées premières fi et fy ne soient pas toutes les deux nulles ; écrivons la formule de Taylor sous la forme
f[x^ -H A, yo -t- *) - A^o» yo) = A/*i(^o -t- ôA, yo H- ôA)
-f-ft/'Xjîo-^«A;yo-4-eft);
pour h et k très petits en valeur absolue, le second membre diffère peu de la somme A/xt^o» yo) "^ V^(^oi yo) ^t a le signe de cette somme ; mais celle-ci prend des valeurs de signes contraires lorsque Ton donne à h et k des systèmes de valeurs égales et de signes contraires, par conséquent le second membre n'a pas un signe constant, et f{x, y) n'a ni maximum ni minimum pour x = Xqj y ^=1/^; nous pouvons donc énoncer ce résultat :
Pour qu'âne fonction f{x, y) soit maximum ou minimum pour un système de valeurs a;©, y^ des variables, il faut que ces valeurs annulent les deux dérivées du premier ordre.
Nous sommes ainsi amenés, pour trouver les valeurs des variables rendant f{x, y) maximum ou minimum, à résoudre le système d'équations:
elles fournissent un ou plusieurs couples de valeurs tels que (xq, y^), mais à chacun d'eux ne correspond pas toujours un maximum ou un minimum. Pour le reconnaître, supposons d'abord que les trois dérivées partielles du second ordre fit, fly, f"j% ne soient pas nulles en même temps pour Tq, y^ ; écrivons alors la formule de Taylor sous la forme
(2) f[x, + A, .vo + A) - /(^o, yo) = \ mu -f- 2hkfl, ^ k^f;.),
les valeurs des dérivées au second membre étant prises pour x^-h^h et yo-4-6/c; pour h et k très petits en valeur absolue, ce second membre a le signe qu'il prend pour les valeurs x^y y^ attribuées aux
variables, ou bien encore le signe du trinôme
Si ce trinôme a ses racines réelles, c'est-à-dire si fxly^ — A«/7o« ^ ^' il est tantôt positif, tantôt négatif suivant que la valeur de j- est comprise ou non entre les racines ; par suite le premier membre de (2) n'a pas un signe constant et la fonction f{x, y) n'est ni maximum ni minimum pour le système (xq, y^). Si le trinôme (3) a ses racines imaginaires, c'est-à-dire si fxly^ — A«/7o«<^» ^^ ^ toujours le signe de son premier terme, c'est-à-dire celui de fx^* ; on voit alors que si ce coefficient est négatif, le premier membre de (2) est toujours négatif pour les différentes valeurs suffisamment petites de h et k, et f{x, y) est maximum pour le système {x^^ y^) ; si au contraire, fx^t est positif, le premier membre de (2) est toujours positif dans les mêmes conditions, et f{x^ y) est minimum pour le système (xq, y^).
Lorsque les racines du trinôme (3) sont égales, ou lorsque x^^ y^ annulent les trois dérivées secondes de /*(a:, ^), il est nécessaire de considérer dans la formule de Taylor les termes en h et k de degré supérieur au second et de refaire des raisonnements analogues aux précédents, mais nous n'entrerons pas dans le détail de ces recherches.
Exemple. — Soit à trouver le maximum d'un produit
f=xyz
de trois facteurs dont la somme est constante et positive et a pour valeur
si nous tirons z de la dernière équation, et si nous portons dans f la .valeur obtenue, nous avons la fonction de deux variables indépendantes
f^xyia — x — y)
dont nous devons trouver le maximum ou le minimum.
En annulant les dérivées fl et /J, nous avons les deux équations
qui ont comme soIutioDS
Les dérivées secondes sont
la première solution aî = y = ~donne à ces dérivées les valeurs
— y» ~"T' ~"f ' ^^ ^^^^^ ^"® f^ly. — fWk* est égal à — |et est négatif; /"z^t est aussi négatif; la fonction est donc maximum ;
remarquons que dans ce cas x, y, z sont égaux à — , et les trois facteurs du produit sont égaux.
Les autres solutions rendent /«Jy, — fk*fk* positif, et la fonction n'est alors ni maximum ni minimum.
167. Calcul des quantités très petites. — Une des principales applications de la formule de Taylor consiste dans la détermination d'une valeur approchée de Taccroissement que prend une fonction lorsque Ion donne aux variables des accroissements très petits ; si en effet dans les formules (5) et (8) des n''" 162 et 164 , h et k sont très petits, les termes des seconds membres ont des valeurs décroissant très rapidement, et les premiers de ces termes suffisent, dans la pratique, pour calculer une valeur approchée des premiers membres.
Le cas le plus simple de la formule de Taylor pour une variable, c'est-à-dire la formule des accroissements finis écrite sous la forme
f[x -h A) — f{x) = hf [x -f- e A) ,
permet déjà de déterminer les limites entre lesc[uelles est comprise la différence f[x-\-h) — f[x)\ ô est en général inconnu, mais si Ion connaît la plus petite et la plus grande valeur de la dérivée lorsque la variable est comprise entre a; et a: h- A, on est certain que f'[x -h ôA) est compris entre ces valeurs, et Ton en déduit les limites du second membre.
Considérons par exemple le logarithme népérien de x ; nous avons, eo appliquant la formule précédente.
248 DÉRIVÉES ET DlFFÉBENTl ELLES
log {x-hh) — log X = A -
et le second membre reste compris entre — et r •
Cette formule sert à calculer les logarithmes vulgaires ou décimaux des nombres qui ne sont pas dans la table ; nous savons (n° 56) que les logarithmes décimaux sont égaux aux logarithmes népériens multipliés par le module M = 0,434294 . . .; si donc x et logiox sont donnés, nous avons pour calculer log,o(x 4- A) la formule
logio (x 4- A) = logio X 4- ^Z^ '
on y remplace ordinairement 0 par ~ dans les applications.
Lorsqu'on a besoin de calculer au second membre de la formule (5) (n^ 162) un, deux, ou un nombre donné de termes, on a toujours la faculté de prendre la valeur de n égale à ce nombre ; c'est précisément parce que n est indéterminé dans la formule de Taylor et peut être choisi comme on le veut dans chaque cas particulier, que cette formule se prête à toutes les applications. Si Ton se donne n, et si Ton prend comme valeur approchée de f{x -4- h) — f{x) la somme
Terreur commise est égale au terme complémentaire
9 est en général inconnu, mais on connaît souvent une limite supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre (fH- 1) dans Tintervalle {x, a;-+- A), et Ton en déduit une limite supérieure de la valeur absolue de R.
Ces considérations s'appliquent aux fonctions de plusieurs variables lorsqu'on utilise la formule (8) (n° 164) ou des formules analogues.
168. Cas où Ton applique la formule de Maclaurin. — La formule de Maclaurin donne lieu aux mêmes remarques, lorsqu'on veut calculer f(x) ou f{x, y) pour des valeurs très petites des variables.
Considérons comme exemples les deux fonctions sin x et cos x dont nous désignerons la première par f{x) et la deuxième par (p(x) ; ces fonctions et leurs dérivées successives ont^pour valeurs (n* 137)
f[x)= sinx^ cp (a?) = cosx,
f'[x)= cos X, ^' [x) = — sin x,
f\x) = — sin X, cp" (x) = — cos x,
('^(x) = — cos Xy df" (x) = sin x,
/■'^'(x) = sin X, «p»^ (x) = cos x.
Nous voyons que les termes de ces suites, à partir du quatrième, sont respectivement égaux aux premiers, de sorte qu'ils se reproduisent périodiquement de quatre en quatre ; toutes ces dérivées sont du reste continues, et nous pouvons appliquer la formule de Maclaurin en donnant à 71 une valeur quelconque.
Donnons à n la valeur 4 pour f[x) et la valeur 3 pour ^(x), en remarquant que sin 0 = 0 et cos 0 = i : nous aurons les formules
^'"^=T-ry:3^rT:3T4-:5 *="*'*"'
comme cos Ox est inférieur à Tunité en valeur absolue, nous voyons
x^ que Ton peut remplacer sin x par x — — avec une erreur inférieure
à la valeur absolue de r— jr et, de même, qu'on peut remplacer cos x
par i — jr- avec une erreur inférieure a -^ •
Gomme autre exemple, considérons la fonction v/i -h x = (1 -f- x) '^ ;
ses deux premières dérivées sont — (i-l-x) -^ et — --(1h-x) 2;
nous avons par suite
v/i-hx = i
nous pouvons donc substituer à y^i -f- x la quantité i -^ -—- dans les calculs approchés lorsque x est très petit.
Les formules de Taylor et de Maclaurin ne sont pas les seules qu'on puisse utiliser ; la division algébrique rend souvent les mêmes services lorsqu'on veut calculer rapidement le quotient de deux polynômes pour de petites valeurs de la variable. Par exemple nous avons, en divisant i par i — X, la formule :
où n peut être choisi arbitrairement ; lorsqu'on le prend égal à Tunité,
on voit que ■; peut être remplacé par i -hx avec une erreur égale
Dans le même ordre d'idées, on remplace souvent, pour x et y très petits, le produit (i -ha:) (i -hy) par i-f-ar-hy; Terreur commise est égale à xy.
169. Calcul des erreurs. — Lorsqu'on substitue à un nombre exact a une valeur approchée a', on appelle erreur du nombre approché a' la différence entre ce nombre et le nombre a ; en la désignant par oa, on a
8a = a' — a, d'où a' = a -f- Sa ;
si Terreur est positive, a' est approché par excès ; si elle est négative, a' est approché par défaut.
11 arrive souvent, surtout dans les mesures expérimentales des grandeurs, que le nombre exact a est inconnu, ainsi que la grandeur et le sens de Terreur commise ; on connaît seulement la valeur approchée a' et une limite supérieure de la valeur absolue de Terreur oa ; si cette limite est représentée par Aa, on est ceiiain que \a' — a\ est inférieur à Aa, et Ton peut affirmer que le nombre exact a est compris entre a' — Aa et a'-^àa; on dit alors que a' est une valeur approchée de a à Aa près. Par exemple, si une longueur est trouvée égale à 0°,527 à 2"™ près, la valeur exacte est comprise entre 0»,525 et 0=^,529.
L'erreur telle que nous venons de la définir s'appelle erreur absolue ; dans certaines questions, on introduit Terreur relative, que Ton définit comme étant le quotient de Terreur absolue par le nombre exact. Par exemple une erreur de 2 centimètres sur une longueur
de 50 centimètres constitue une erreur relative de — ou jz^'y la
même erreur de 2 centimètres sur une longueur de 25 mètres constitue
une erreur de -^ = • Il est facile de passer des erreurs absolu 1 u uoo
lues aui erreurs relatives et réciproquement ; dans ce qui suit, nous ne considérerons que les premières.
170. Premier problème. — Dans les calculs effectués sur des nombres approchés, on a à résoudre deux problèmes fondamentaux ; le premier est le suivant :
Déterminer une limite supérieure de l'erreur avec laquelle on peut obtenir le résultat d'une formule numérique, dans laquelle les données ne sont qu'approchées, connaissant les limites supérieures des erreurs qui affectent ces données.
Soit
une formule donnant la valeur d*un nombre N au moyen des valeurs de nombres exacts a, b, c ; supposons que Ton substitue à ces nombres des valeurs approchées
a' = a-^-^ay 6' = 6 H- 86, c' = ch-8c,
et qu'on calcule un nombre N' par la formule
Terreur commise en prenant N' comme valeur approchée de N est N' — N ; nous nous proposons de calculer sa limite supérieure.
En employant pour n-f- 1 = 1, la formule de Taylor (8) analogue alors à la formule des accroissements finis, nous avons pour valeur de N' — N la quantité
(4) /■(a-4-Ba,6-{^-o6, c-4-ôc)— /"(a, 6,c)=^^a/'a(a-| 08a, 6-1-6 86, c-+-6oc) -h ZbfUa -h 6ôa, . . . ) -h Bcf^a -t- Ô8a, . . . ) ;
nous ne connaissons pas 8a, 86, 8c mais seulement les limites supérieures Aa, A&, Ac de leurs valeurs absolues ; de même ô est inconnu, mais nous pouvons affirmer que a-f-ô8a est compris entre a — Aa cl a + Aa, et de même des autres.
Pour obteoir une limite supérieure de la valeur absolue du deuxième membre, on remplace chacun des termes par une limite supérieure de sa valeur, et Ton fait la somme des valeurs absolues de ces limites. Pour cela, on commence par chercher la plus grande valeur absolue des dérivées fa.f'by fe lorsque a, b, c varient dans les intervalles (a — Aa, a-4-Aa), (6 — A6, 6-hA6), (c — Ac, c-+-Ac) ou bien dans d'autres plus faciles à évaluer comprenant les précédents ; ordinairement, on arrondit les nombres donnés ez' , b',c', dans un sens tel que les dérivées /«, fi, fé ne puissent qu'augmenter en valeur absolue ; on multiplie ensuite les résultats par la, A6; Ac et Ton fait la somme des valeurs absolues des résultats.
On écrit souvent la formule précédente sous la forme
(5) AN= I /i I Aa-H I /i I A6-f- \ T \ Ho
et Ton prend les valeurs approchées par excès des dérivées pour les valeurs connues a', b\ c' des variables ou pour des valeurs s'en écartant peu ; on a ainsi une valeur de AN toujours suffisante dans la pratique. La formule (5) rappelle la formule (7) du n^ 159, mais il faut remarquer que Ton doit toujours, dans le cas actuel, ajouter les valeurs absolues des termes qui composent le second membre. Si Ton considère par exemple une somme, un produit, un quotient ou une racine carrée, on écrit
(6) A(azb6±:c) = Aa-+-A6-4-Ac,
(7) Aa6 = 6Aa-i-aA6,
Dans la pratique, lorsqu'on effectue le calcul du nombre N' au moyen des nombres approchés a', 6', c', on ne conserve pas tous les chiffres décimaux ; par exemple si AN est égal à deux centièmes, il est inutile de conserver dans N' les chiffres décimaux au delà des centièmes. Il est utile cependant de tenir compte de l'erreur commise en supprimant les chiffres non conservés, et d'ajouter une limite supérieure de sa valeur à la limite fournie par la théorie précédente. Si Ton
supprime simplement les chiffres qui suivent par exemple les centièmes, la nouvelle erreur est inférieure à un centième ; si cependant on a soin de forcer le chiffre des centièmes d'une unité dès que le chiffre suivant est égal ou supérieur à 5, la nouvelle erreur est au plus égale à un demi-centième.
Exemples, — Calculer le rayon R d'un cercle dont on donne la surface S; on connaît la valeur de cette surface S' = 123"*<',57 à i^"*» près, et Ton prend comme valeur de -k le nombre ir' = 3,1416 à un dix-millième près.
La formule qui donne le rayon est R = i/— ; nous avons à
effectuer un quotient, suivi d'une racine carrée. Considérons d*abord
le quotient — que nous remplaçons par —; d'après la formule (8),
Terreur sur ce quotient est
arrondissons dans le second membre les valeurs de S et de :r ; substituons à la première le nombre plus grand 150 et à la seconde le nombre plus petit 3; ce second membre ne peut qu augmenter ; nous obtenons de cette façon pour sa limite supérieure la valeur
Divisons S' par i:' et conservons trois chifïres décimaux, ce qui donne comme résultat 39,333 ; la suppression des chiffres décimaux suivants nous fournit une nouvelle erreur inférieure à un millième ; Terreur totale est donc inférieure à 6 millièmes.
Prenons maintenant la racine carrée du nombre 39,333 ; d'après la formule (9), Terreur de la racine sera
S en prenant sous le radical le nombre 36 à la place de — i on voit que
II» Il
le second membre a pour limite supérieure — - ou — » ■^;
si de plus on calcule V39,333 avec 4 chiffres décimaux, la nouvelle
erreur commise est inférieure à ; Terreur totale est donc infé-
1 U {){)[) rieure a
La racine ainsi calculée étant 6,2716, on voit que R est compris entre 6,2710 et 6,2722.
Comme autre exemple, nous allons déterminer une limite supérieure de Terreur dont est affectée la valeur de i fournie par la formule
i = atg(p,
sachant que a = 25,82 à un centième près, et cp = 42** 27' 50" à 20 secondes près.
La formule (5) nous donne
Al = tg © . Aa H T— A© ;
^ cos* f ^
au second membre, nous remplacerons tg (p par une valeur supérieure
i/2 tg45° = l,a par 30, cos^ parcos45*» ou ^» puis Aa par 1 cen-
tième; quant à Aop, on doit Tévaluer en radians, et il a pour limite
supérieure (n- 59) ^^ ou, en forçant, ^gf^ = f^^ • Nous avons
par suite
171. Deuxième problème. — Les données d'un calcul numérique étant entièrement connues ou susceptibles d'être déterminées avec autant de décimales que l'on veut, on demande le nombre de décimales qu'il suffit de conserver dans ces données pour que l'erreur du résultat du calcul effectué avec les valeurs approchées soit inférieure à un nombre donné.
Ordinairement, on demande que le résultat du calcul soit obtenu avec une erreur inférieure à une unité d'un certain ordre décimal; supposons pour plus de généralité que la limite AN soit de la forme ^^
p étant un nombre entier ou non, compris entre i et iO. Comme nous Tavons déjà remarqué, Terreur totale du résultat se compose de deux parties qui s'ajoutent généralement, l'une provenant de la substitution de nombres approchés aux données exactes, l'autre provenant de la suppression des chiffres décimaux dépassant un certain rang dans les résultats des calculs successifs ; si nous appelons respectivement AiN et A2N les limites supérieures de ces erreurs, nous devons choisir ces imites de façon que leur somme soit inférieure au nombre donné AN. Nous admettrons qu'à la fin du calcul on supprime dans N' les chiffres décimaux qui suivent ceux de Tordre ky et que de plus on force le dernier chiffre conservé si le suivant est égal ou supérieur à 5 ; nous
aurons
alors A.N = ~,, et A.N = (/, — i) ji •
Lorsqu'on connaît ainsi AiN, la formule (5) permet de déterminer les limites supérieures Aa, A6, Ac des erreurs dont peuvent être affectées les données; on pourrait se donner ces limites, sauf une, mais dans la pratique on répartit également AiN sur les termes du second membre de la formule ; s'ils sont en nombre qy on prend pour chacun
A N d'eux la valeur — ^ • De plus, on simplifie les calculs des coefficients
de Aa, A&, Ac en forçant au besoin ces coefficients, et Ton trouve finalement des valeurs pour les limites Aa, A6, Ac. On substitue alors à a, 6, c des nombres a', &', c' qui en diffèrent de moins de ces limites, et on calcule en partant de ces valeurs approchées le nombre N' comme il a été dit au numéro précédent.
Le plus souvent, on décompose l'opération totale en d'autres successives simples telles qu'une somme, un produit, un quotient, une racine, et Ton représente par une lettre le résultat de chacune d'elles. On a ainsi une suite de nombres N, a, 6, . . . ^, /c dont chacun s'exprime simplement au moyen des suivants, les derniers étant les données numériques. On décompose alors Terreur donnée AN en AiN et A2N, comme on Ta dit, puis on calcule de proche en proche Aa, A6, . . . que Ton décompose de même en Aja, A^a, ... et ainsi de suite jusqu'aux limites AA, Aft des erreurs que Ton peut se permettre sur les données ; on peut remplacer si Ton veut un ou plusieurs de ces nombres Aa, . . . A/r par des nombres plus petits. On calcule ensuite en sens inverse les nombres approchés fc', A', . . . b\ a\ et N\ en supprimant chaque
fois les chiffres décimaux inutiles comme le permettent les valeurs admises pour ^k, ... A, a, A^N .
Pour plus de clarté, on dresse un tableau où Ton écrit d'abord de haut en bas : i** les lettres hM, . . . 6^ a^ N; 2"* et 3^ leurs valeurs par excès et par défaut; 4° les valeurs des coefficients fi,fi,"^ ou des nombres supérieurs à ces coefficients. Ensuite on écrit, de bas en haut : S*» les valeurs de AN, ... ; 6* et 7* celles de AjN, ... et de A|N, ... ; enfin on écrit de haut en bas 8^ les valeurs approchées A', h', . , . N'.
Exemple. — Soit à calculer à un centième près le nombre
nous écrirons les formules
