La dénomination de force vive a été ima

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({inée par Leibnitz , pour qui celle expression avait un sens philosophique sur lequel nous reviendrons un peu plus loin. Dans ces derniers temps on a proposé de lui en substituer une autre, qui se rattache au contraire à un point de vuepuremenl pratique. On opère évidemment un travail double ou triple quand on élève un même poids, à l’aide par exemple d’une poulie de renvoi, à une hauteur double ou triple. De môme on opère un travail double, quand on surmonte le môme frottement sur une longueur de roule double. D’après cela, on devra nécessairement considérer comme le môme travail l’opération d’élever un poids d’un kilogramme à deux mètres, ou celle d’élever un poids de deux kilogrammes à un mètre, en ce sens que l’une et l’autre opérations peuvent se faire en élevant deux fois un kilogramme à la hauteur d’un mètre. Le travail dont il est question ici peut donc se mesurer par le produit de deux nombres, dont l’un exprime le poids et l’autre la hauteur à laquelle il a été soulevé.

Nous disons le travail dont il s’agit ici : car, sans sortir de la classe des travaux mécaniques, il est clair que le travail d’un homme qui soutient un poids en équilibre pendant un temps donné, ou qui porte un fardeau le long d’une route, ne peut nullement se rapporter à la môme mesure.

Cela posé, considérons un coqis pesant, dont la masse est M, au moment où il se trouve animé d’une vitesse ascensionnelle, en vertu de laquelle il doit remonter jusqu’à une certaine hauteur H : nous pouvons dire que la vitesse dont il est animé lient lieu d’une quantité de travail mesurée parle produit M X H , ou que cette môme quantité de travail est

acluellemcnt accumulée dans le corps. En donnant au mol de travail celle acception, le Iravail aura ptHir mesure précisément la moitié de la force vive.

403. — 'Il y a cependant de bonnes raisons pour que la dénominalion de force vive se conserve dans le langage de la mécanique rationnelle : car le mol de travail, en raison de la foule de notions pratiques qu’il réveille, cadrerait mal avec la généralité des théorèmes dans l’énoncé desquels figure la force vive, et qui trouvent leur application , tant en astronomie que dans les branches élevées de la physique.

Par exemple, ce sont des principes très-remarquables de la dynamique , que , dans un système de corps réagissants^ les uns sur les autres par attraction ou par répulsion, comme notre système planétaire, la somme des forces vives de tous les corps du système est une quantité qui reprend périodiquement les mômes valeurs, toutes les fois que le système repasse par les mêmes positions *, que dans le choc des corps qui ne sont point parfhilemenl élastiques, il y a nécessairement' perle de force vive, quoique

' Prenons pour exemple le cas qui est indiqué sur le tableau de l’article 63 : on aura , avant le choc ,

Force vive de A, égaie à 8 X le carré de 17, égale 2312

Force vive de B, égale à 6 x le carré do 10, égale 600

Somme ..... 2912

Après le choc, '

Force vive de A, égale à 8 X le carré de 14, égale 1568

Force vive de B, égale à 6 X le carré de 14, égale 1176

Somme 2744

Excès de la première somme sur la seconde, égale 168 Ç.t' nombre 168 tnesurera ici la perte de force vive.

(arU 55 etsuiv.) la somme des quanlilés de mouvement suivant une direction donnée reste constante. Pendant longtemps on a admis sans examen suffisant la proposition inverse de celle-ci, c’est-à-dire que dans le choc des corps parfaitement élastiques il y a une conservation parfaite de forces vives, ce qui n’est pas exact en général.

404. — Si nous concentrons notre attention sur la théorie des machines , la dénomination de quantité de travail pourra très-bien remplacer celle de force vive : elle satisfera l’esprit par une image plus concrète et plus sensible. Mais avant de l’employer de préférence il convient de présenter encore quel- (|ucs observations.

Quoique la fonction des machines soit le plus souvent d’élever des fardeaux ou de vaincre des résistances continues du même genre, ce n’est pas là l’unique manière de consommer la force dont les machines sont animées. Par exemple, dans les rpachincs à pilons, on se propose de soumettre certaines substances à des percussions qui les triturent ou les déforment. Or, bien qu’on puisse difficilement rendre les effets de ces percussions comparables, il n’y a nul motif d’admettre qu’ils soient proportionnels aux forces vives dos pilons à l’instant du choc. On se rapprocherait probablement davantage de la vérité , en les supposant proportionnels aux quantités de mouvement de ces pilons, ou aux produits de leurs masses par leurs vitesses. Sous ce rapport on ne trouverait plus que la force vive donne une juste évaluation de la force utile accumulée dans la

il8 ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE. CHAP. XXIII.

machine. Mais il faut remarquer qu'une certaine quantité de force vive ou de travail a été employée à soulever les pilons à la hauteur d’où ils redescendent pour produire reffet utile. S’il arrive que l’effet produit par les pilons quand ils tombent de deux mètres ne soit pas double de l’effet qu’ils produisent en tombant d’un mètre seulement', on s’arrangera pour que la même quantité de travail qui serait dépensée à soulever les pilons à la hauteur de deux mètres , se trouve employée à les soulever deux fois à la hauteur d’un mètre; et c’est ce qu’on peut toujours faire au moyen des machines : c’est à cela qu’elles sont spécialement destinées. Donc, sous le point de vue économique, on n’aura toujours à considérer que des quantités de travail ou de force vive ; ce qu’exprime le mot fameux de Montgoltier qu’on ne peut plus se dispenser de citer en parlant des machines : La force vive est ce qui se paie,

405. — La force vive est ce qui se paie dans le moteur. Ainsi, pour apprécier un cours d’eau (|ui vient épuiser contre les aubes d'une roue la vi^ tesse dont il est animé , on calculera , non pas sa vitesse , mais le carré de sa vitesse ou la hauteur de chute qui est proportionnelle à ce carré ; on multipliera cette hauteur par le volume de chute , c’est-à-dire qu’on prendra la force vive du cours d’eau. •

La force vive est ce qui se paie dans une machine destinée à la transmission et à la modifleation du mouvement , en ce sens qu’on paie la machine se-

Ion le rapport de la force vive qu’elle recueille, à la force vive qu’elle transmet aux pièces directement chargées de l'effet utile.

En un mol , la force vive est de tous les effets dynamiques le seul qui se conserve , s’emmagasine, se transmet, s'échange, se fractionne-, et il faudrait être bien peu initié dans la science économique pour ne pas voir qu’à ce titre seul , la force vive devrait devenir l’étalon dynamique , lors même que le travail le plus habituel des machines ne serait pas directement mesuré par la force vive. C’est en vertu de propriétés analogues que les métaux précieux servent d'étalons à toutes les valeurs commerciales , sans être, à beaucoup près , les denrées dont la consommation directe est la plus fréquente et le plus impérieusement réclamée par nos besoins.

406. — Prenons encore pour exemple de machine le treuil représenté Fig. 113; et celle fois supposons que la machine soit mise en mouvement par le poids P appliqué à la circonférence de la roue, lequel soulève le poids W appliqué à la circonférence du cylindre. Pour cela il faudra que le rapport du poids P au poids W surpasse celui du rayon du cylindre au rayon de la roue; car si ces deux rapports étaient égaux , il y aurait équilibre , et si le second rapport surpassait le premier, ce serait au contraire le poids W qui descendrait en soulevant le poids P. Dans l’hypothèse que nous avons admise, le poids moteur P descendra d’un mouvement accéléré ; la vitesse de rotation de la roue et du cylindre ira en croissant; et si au bout d’un certain temps on détachait le poids moteur, la force vive accumulée

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dans le système aurait encore le pouvoir de remonter le poids W à une certaine hauteur. Il n’est pas ditTicile d’apercevoir que cette quantité de force vive sera la différence entre deux quantités de même espèce j la force vive que le poids moteur aurait imprimée au système sans la résistance du poids W, force vive qui a pour mesure le produit du poids P par la hauteur dont il est descendu ; et la force vive consommée à soulever le poids résistant, laquelle a pour mesure le produit du poids W par la hauteur dont il est remonté.

Lorsque l’on substitue dans la théorie des machines la dénomination de travail à celle de force vive, on peut dire que le corps qui se meut dans la direction de la force qui le sollicite produit du travail , et que le corps qui se meut en sens contraire de la force par laquelle il est sollicité en consomme. On pourrait aussi , selon l’esprit de l’algèbre, dire que l’un produit un travail positif, et l’autre un travail négatif. Au lieu d’employer ces deux épithètes, on dit que le travail du premier corps est un travail moteur, et celui du second un travail résistant. En conséquence, la quantité de travail accumulée dans une machine , au bout d’un temps donné, aura pour mesure l’excès du travail moteur sur le travail résistant.

407. — Au moment où l'on détache le poids moteur^ P, imaginons qu’on y substitue un autre poids P , dont le rapport au poids résistant W soit celui du rayon du cylindre au rayon de la roue, c’est-à-dire un poids tel qu’il é(|uilibrerait le poids VV au moyen de la machine, si celte niacliine était

TRAVAIL MüTEÜR ET TRAVAIL RÉSISTANT. 42 ï

repos. Comme elle esl actuellement en mouvement, le poids P' descendra ; mais , par la nature de la machine, si P' esl la moitié ou le tiers de W, il ne pourra descendre d’un mètre sans faire remonter W d’un demi-mètre ou d’un tiers de mètre. Le travail moteur qui se produira , è partir de la substilulion de P' à P, sera donc constamment égal au travail résistant produit dans le même temps. 1^ quantité de travail précédemment accumulée dans la machine n’augmentera ni ne diminuera, et à partir de cet instant elle marchera d’un mouvement uniforme.

408. — Nous avons choisi ù dessein un exemple des plus simples ; mais tous les résultats auxquels nous avons été conduits peuvent être facilement généralisés, quels que soient la nature et le mode d’action des forces, et quel que soit aussi le système mécanique auquel elles sont appliquées. Si les forces ne sont pas constantes comme la pesanteur, mais qu’elles varient d’intensité pendant la durée de l’action, il faudra, selon l’esprit général du calcul, concevoir la durée partagée en une infinité d’éléments, et prendre pour le travail produit la somme des quantités élémentaires de travail qui correspondent à chacun de ces éléments de durée. Si les points soumis à l’action des forces ne se meuvent pas.précisément dans le sens suivant lequel les forces sont dirigées, ni en sens contraire , il faudra estimer les mouvements pris par ces points suivant les directions des forces, en appliquant les régies de la décomposition du mouvement (art. 79). Notre but n'est point

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<l 'entrer dans ces détails, mais de donner seulement la clef des théories.

409. — En généralisant la remarque qui fait l'objet de l’avant-dernier article, on arrive à ce principe de la plus haute imporlance , que la quantité de travail accumulée dans une machine en mouvement reste constante, toutes 1^ fois que les forces appliquées à la machine sont telles qu’elles se feraient équilibre si la machine était en repos ; et réciproquement que les forces appliquées à un système mécanique en repos se font équilibre, dés i’inslant que le système ne pourrait se mouvoir sans que le travail moteur fût précisément égal au travail résistant, au moins dans le premier instant du mouvement. Ce dernier principe qui résume tputes les conditions de l’équilibre et d’où l’on peut les déduire toutes, est connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles.

Celte remarque seule peut nous faire comprenebre pourquoi l’on attache tant d’importance , dans les éléments , à étudier les conditions de l’équilibre des machines, quoique pour l’ordinaire les machines ne rendent des services que dans l'état de mouvement. C’est qu’en déterminant les relations des forces dans l’état d’équilibre, on détermine par cela même les relations que ces forces doivent avoir entre elles pour entretenir à l'état d’uniformité le mouvement de la machine , après la consommation des premiers efforts qui mettent la machine en mouvement et lui donnent la vitesse voulue. En ne considérant dans les deux cas qu’une force motrice et une force ré-