PARALLÉLOGRAMME DES FORCES

76. — On démon fre le théorème du parallélogramme des forces avec tou le ta rigueur mathématique, en ne s’appuyant que sur les principes élémentaires de la géométrie, combinés avec des axiomes qui dérivent immédiatement de l’idée que nous avons des forces-, mais on peut aussi le vérifier facilement par l’expérience. On fixe- a une planche deux petites poulies M, N < Fig. 8 ), sur lesquelles est enroulé un fil qui porte les poids A, B. On accroche au fil un troisième poids C, qui le plie suivant l’angle MP N,’ et l’on attend que l’équilibre se soit établi. Quand cela a lieu , il est clair (art 74 ) que les forces égales en intensité aux poids M et N , agissant suivant les lignes PM, PN, ont pour résultante une force égale en intensité au poids C, qui agirait dans le sens PO. En général, dès qu’un nombre quelconque de forces appliquées à un même point se font équilibre, chacune d’elles est égalé en intensité à la résultante de toutes les autres, et dirigée suivant la môme ligne que cette résultante, mais en sens contraire.

Cela posé, si l’on trace sur la planche à laquelle les poulies sont attachées la ligne verticale PO, que l’on prenne sur celle ligne une longueur Pc, formée d’autant de millimètres qu’il y a de grammes dans le poids C, qu’on achève ensuite le parallélogramme P^ca, on trouvera qu'il y a respectivement autant do millimètres dans les longueurs Pa,P^, que de grammes dans les poids A et B.

77. — Dans l’exemple de composition de forces, que nous venons de clioisir, comme dans tous ceux où l’équilibre a lieu, les effets produits par les forces se réduisent à des pressions, de sorte qu’à prqprc-

ment parler, nous n’avons établi que le principe de la composition des pressions. Or, l’idée de mou^ Tement, aussi bien que celle de pression, est liée essentiellement à l’idée de force. La môme force qui produit une pression quand le corps est gêné par des obstacles ou par l’action d’autres forces, produira le mouvement, si le corps redevient libre. II est conforme à l’analogie de supposer que le même principe qui régit la composition des pressions régit aussi la composition des' mouvements, et effectivement la correspondance est parfaite.

78. — Imaginons qu’un corps soit en mouvement dans la direction AB {Fig. 9), et qu’au point P on lui communique un autre mouvement en vertu duquel il aurait décrit la droite PC s’il avait été primitivement immobile en P : on demande quelle direction le corps prendra et de quelle vitesse il sera animé.

Supposons que la vitesse dont le corps était animé dans le sens AB dût lui faire décrire l’espace P N dans une seconde de temps, cl qu’eh vertu du mouvement qui lui est communiqué en P il dût décrire dans une seconde l’espace PM, s’il était en repos au moment ov\ il reçoit l’impulsion. Construisons lo parallélogramme PMON : en vertu des deux mouvements combinés, le corps se mouvra suivant la diagonale PO avec une vitesse telle qu’il décrirait l’espace PO dans une seconde do temps. Ainsi, les deux vitesses communiquées au coriis, ou les deux vitesses composantes, étant teprésentées tant en grandeur qu’en direction par les côtés d’un parallélogramme, la vitesse prise par le corps, ou la vitesse

COMPOSITION DES MOUVEMENTS. Tl

résullanle, sera exprimée tant en direction qu'en grandeur par la diagonale de ce parallélogramme : théorème exactement semblable à celui qui a lieu pour les pressions.

Il y a différentes manières de démontrer par l’expérience la loi de la composition des mouvements. On place ordinairement une bille d’ivoire à l’un des angles d’une table carrée, parfaitement polie et bien de niveau. On communique ù la bille deux impulsions égales, dirigées chacune parallèlement à l’un des côtés de la table, et l’on observe que la billo prend son mouvement suivant la diagonale avec une vitesse conforme à celle que la théorie indique.

79. — De môme que deux mouvements communiqués simultanément à un corps équivalent à un mouvement simple communiqué dans une direction intermédiaire, de môme on peut concevoir en mécanique qu’un mouvement simple est remplacé par deux mouvements, exprimés en grandeur et en direction par les côtés d’un parallélogramme dont la diagonale représente en grandeur et en direction le mouvement simple. Ce procédé, qui s’appelle la décomposition du mouvement, facilite beaucoup les recherches cl les démonstrations dans un grand nombre de cas.

80. — Il est souvent nécessaire d’assigner avec quelle intensité uite force agit suivant une direction autre que celle de la force même. Ainsi, une force étant appliquée au point A {Fig. 10) dans la direction AC, on peut avoir besoin d’évaluer l’intensité avec laquelle elle agit dans la direction AB,

A cet effet, on prendra une longueur AP pour représenter l’intensité absolue de la force, ainsi que bous l’avons expliqué dans ce qui précède ; on élèvera la perpendiculaire AN sur la ligne ATî-, et après qu’on aura achevé le parallélogramme rectangle ANPM, la force AP pourra être considérée comme équivalente à deux autres, représentées respectivement par les lignes AN, AM. La force AN, qui est perpendiculaire à AB, ne peut contribuer en rien à mouvoir ni à pousser le corps dans la direction AB-, en conséquence AI\I représentera l’intensité de la force AP, dans le sens AB.

81. — On détermine la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un môme point d’un corps, en appliquant autant defois qu’il le faut la règle du parallélogramme des forces. En effet, après avoir représenté toutes les forces composantes par des lignes, désignons ces lignes par A, B, C, D, E, etc. Construisons le parallélogramme qui a pour côtés adjacents les lignes A et B, et soit A' la diagonale de ce parallélogramme : la force A' équivaudra aux deux forces A et B. Construisons de môme le parallélogramme qui a pour côtés adjacents les ligues A', C, cl soit B' sa diagonale : la force B' équivaudra aux deux forces A', C, et par conséquent aux trois composantes primitives A, B, C. On voit que le môme procédé peut être continué jusqu’à ce qu’on ait réduit toutes les composantes primitives à une force’' unique.

Quand on arrive, finalement , en suivant ce procédé, à combiner deux forces égales et directement

• EXEMPLES DE LA COMPOSITION DES FOr>CES. 73

opposées i la résullanle esl nulle, et le point auquel toutes les forces sont appliquées reste en équilibre,

/ 82. — ' Les exemples de la composition des mouvements et des pressions s’offrent sans cesse à nous : toute lu difficulté est de trouver, au contraire, uii exemple de mouvement simple, dans la stricte ac- • ceplion du mot. f

Quand on traverse une rivière en bateau, le bateau ne prend pas la direction transversale (jue les rames tendent à lui imprimer 5 il ne suit pas non plus la direction du courant , mais bien une direction intermédiaire, déterminée en vertu du principe de là composition des forcoSi

Soit k {Fig;. 11 ) la position du bateau à l’instant du départ, et supposons que la manœuvre des rames ait lieu de manière à pousser le bateau vers B, et à • lui faire décrire l’espace AB dans dix minutes, s’il n’y avait point de courant. D’un autre côté, supposons la rapidité du courant telle que, sans l’aclioii des rames , le bateau serait trans])orté en dix minutes de A en G. Menons CD parallèle à AB, et tirons la. diagonale AD. Par la combinaison de l’action des rame^ et de celle du courant, le bateau décrira la ligne AD, et mettra dix minutes à gagner la rive opposée au point D.

Si l’on tient à aborder au point B, en partant de A , les rameurs doivent avoir assez l'habilude de leur métier pour évaluer â peu près la vitesse du courant. Ils se représenteront un point E situé en amont sur l’autre rive, à une distance de B telle que la force du courant entraînerait le bateau de E en B, dans le môme temps qu’ils mettraient à traverser la

dislance  E , ri le CQorant n’existait pas. Ils dirige' roDt alors constammeat Timpubioa des rames suivanl une ligne parallèle à ÂE, et le bateau abordera au point E, après avoir décrit la ligne AB, qui est la diagonale du parallélogramme AEBC.

On déterminenait de même la direction du sillage d'un vaisseau soumis à la fois à l'action du Yent et à . celle de la marée.

En considérant la manière dont les rames communiquent l'impulsion au bateau , nous j trouvons déjà un exemple de la composition des forces. Soit A la proue (Fig. 12) , et BTa poupe du bateau. Le rameur se tourne vers B, et place ses avirons de manière qu'ils pressent contre l’eau dans les directions €E, DF. La résistance de l'eau engendre des pressions appliquées au bateau dans les directions GL, HL^ et ces pressions équivalent à une force K L dirigée diagonalement dans le sens de la quille. La nalalioo des poissons , le vol des oiseaux s’opèrent eu vertu des mêmes principes de mécanique.

83. — Nous expliquerioQs également comment )e vent agit sur les voiles d'un vaisseau , cl cooimenl cette action, inodiGée par celle du gouvernail, est transmise à la quille. Mais le problèipe deviendrait trop compliqué pour trouver ici sa place, ri nous voulions avoir égard à toutes les circonstances. La question se simplifiera, ri nous supposons la voile assez complètement tendue pour former une surface plane. Soit AB {Fig. 13) la direction de la voile , et CD celle du vent. Prenons la longueur CD pour mesurer la force du- vent, et cooriruisons le parallélogramme :D£ CF dont la