PRESSIONS SUR L’AXE

vanl l'axe mCine. Désignons cct axe par la ligne AB {Fig 11), les points A et B étant les deux pivots, et indiquons parla ligne CD la direction de la force ; menons A G et B F perpendiculaires à A B. On peut démontrer, au moyen de ce qui précède , que l'action de la force CD équivaut à celle de trois forces, dont l’une, dirigée de B vers A, serait égale en intensité à la force CD, tandis que les deux autres, dirigées respectivement suivant AG et B F, seraient à la force CD dans le rapport de AE à AB. La première de ces trois forces aura pour effet de produire une pression sur le pivot A dans le sons B A. Les deux autres forces qui passent par les points A, B seront également détruites par la résistance des pivots , et le corps ne pourra prendre aucun mouvement.

Si le corps est enfilé par une tige cylindrique, les forces AG et B F exerceront une pression contre la tige, tandis que la force dirigée, suivant B A tendra à faire glisser le corps le long de la tige.

186. — Si la ligne suivant laquelle la force est dirigée vient couper l’axe à angles droits, il ne peut encore en résulter de mouvement. Dans ce cas, en admettant que le corps soit supporté par les pivots A, B, et que KL soit la direction de la force, la pression supportée par le pivot A sera à la pression supportée par le pivot B, dans le rapport de LB à LA.

Lorsque le corps est sollicité par une force K H qui vient couper l’axe obliquement , celte force est équivalente à deux autres (art. 75) , l’une KL per- ))endiculaire à l’axe, l’autre K M dirigée parallèlement

à l’axe. On rentre ainsi dans les deux cas traités précédemment. On déterminerait de la même manière les effeLs produits par un nombre quelconque de forces , quand les directions de ces forces sont parallèles à l’axe, ou qu’elles viennent le couper, soit perpendiculairement , soit obliquement. Des forces ainsi dirigées , en quelque nombre qu’elles se trouvenl, ne peuvent jamais produire de mouvement de rotation.

187. — Quand une force est dirigée dans un plan oblique à l’axe , elle peut toujours être décomposée en deux autres , dont l’une est parallèle à l’axe , et l’autre située dans un plan perpendkmiBtre à Taxe. On a déjà rendu compte de l’effet de la première composante*, la seconde tendra à faire tourner le corps avec une énergie mesurée par son moment , c’est-à-dire par le produit du nombre qui exprime l’intensité de cette force , et du nombre qui exprime la longueur de la perpendiculaire abaissée sur la direction de la force, do point où l’axe de rotation est coupé par le plan perpendiculaire dans lequel cette seconde composante est dirigée (art.* 184).

On comprend sans peine que ai un corps mobile autour d’un axe est soumis à l'action d'un nombre quelconque de forces, dont les unes tendent ù le faire tourner dans un sens , et les autres à le faire tourner en sens contraire, il faudra, pour qu’elles se neutralisent et pour que le corps reste en équilibre , que la somme des moments des forces qui tendent à le faire tourner dans un sens, soit égale à la somme des moments des forces qui tendent à lui imprimer un mouvement de rotation en

.MOME^TS d’inertie. 179

sens contraire. Quand l’une de ces sommes l'emportera sur l'autre, le corps tournera, et le sens de sa rotation sera déterminé par les forces pour lesquelles la somme des moments est prépondérante.

188. —Lorsqu’un corps a reçu une impulsion dirigée dans un pian perpendiculaire à l'axe, et suivant une ligne qui no rencontre pas 4'axc, ce corps prend un mouvement de rolalion uniforme. La vitesse de rotation dépend de l'intensité de la force d’impulsion , de la distance de l’axe à la ligne suivant laquelle celle force est dirigée , et du mode de distribution de la masse du corps autour de l'axe. On doit concevoir que toute la force d’impulsion est répartie sur la multitude de particules matérielles qui composent le corps , et qu’elle se transmet du point d’application de la force à ces particules , en' raison de la cohésion des particules entre elles , et de l’impossibilité où est chacune d'elles de se mouvoir indépendamment des autres.

Désignons par m la masse de l’une dos particules qui composent le corps , par r sa distance à l’axe de rotation , par v la vitesse angulaire du corps (art. 138) : d'après la déOnilion de la vitesse angulaire, là vitesse absolue de la molécule m est égale au produit des deux nombres v et r. Sa quantité de mouvement , ou la force dont elle est animée , est égale au produit de sa vitesse absolue par sa masse, ou au produit des trois nombres v, m,r. Désignons ce produit par f : un peut considérer la force y comme tendant à faire tourner le système de toutes les particules, avec une énergie ou un moment mesuré par le produit de la forccy et du

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bras de levier /■, ou par le produit des trois nombres V, m, /■’ , le signe r’ indiquant comme à l'ordinaire (art. 121) le carré du nombre r. Pour une autre particule, le facteur qui exprime la vitesse angulaire du corps, ne changera pas , mais les facteurs m, /•* changeront. La somme des produits m X r*, faite ou eensée faite pour toutes les particules du corps , est ce qu’on nomme le moment d’ineitie du corps , par rapport à l’axe de rotation que l’on considère.

189. — Soit M la masse du corps CD 72) tournant autour de l’axe AB : on peut supposer toute la masse du corps concentrée en un point G, tellement choisi que le produit de M par le carré de la distance O G soit précisément égal à la somme des produits m X r*, ou au moment d’inertie du corps. La force impulsive qui communiquerait au corps la vitesse angulaire v, en agissant au point P, perpendiculairement au plan delà figure, communiquerait la même vitesse angulaire ù la masse M concentrée en G, en la supposant liée invariablement au point P et à l’axe A B. Car la môme force qui donne au système la vitesse angulaire v devrait réduire le système au repos si elle agissait au même point en sens opposé , le corps étant primitivement animé de cette vitesse angulaire v. Il faut donc que le moment de la force P , par rapport à l’axe AB , ou le produit de son intensité P par son bras de levier OP, soit égal au produit de la vitesse angulaire v par le moment d’inertie du corps, ou au produit de o par la masse M et par le carré de la distance 0,G. Conséquemment , le moment d’inertie

MOMENTS d’inertie. 181

peut être considéré dans le mouvement rotatoire comme l’analogue de la masse du coriis dans le mouvement de translation rectiligne.

190. — Puisque la grandeur du moment d’inertie dépend de la manière dont la masse est distribuée autour de l’axe, il s’ensuit que pour différents axes autour desquels on fait tourner le môme corps , les moments d’inertie sont différents. De tous les axes parallèles entre eux , celui qui passe par le centre de gravité a le moindre moment d’inertie. Quand une fois on connaît le moment d’inertie relatif à cet axe, ceux de tous les axes parallèles sont faciles à calculer : en effet, le carré du moment d’inertie relatif à l’un quelconque de ces axes , est égal au carré du moment d'inertie relatif à l’axe parallèle qui passe par le centre de gravité, plus au carré de la distance de ces axes , ou do la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur l’axe parallèle.

191. — Si l’on prend un point quelconque, situé dans l’intérieur de la masse du corps, ou lié à celle masse, et que par ce point on imagine une infinité de lignes droites divergeant dans toutes les direc,tions 5 entre toutes ces lignes , que l’on peut considérer comme autant d’axes de rotation , il y en aura deux dont l’une correspondra au plus grand , et l’autre au plus petit moment d’inertie. La théorie démontre cette particularité remarquableque, quelles que soient la nature et la forme du corps, ainsi que la position du point par lequel on fait passer toutes ces lignes droites , les deux axes du plus grand et du plus petit moment d’inertie sont perpendiculaires

CDlrc eux. Ces deux axes, et ua troisième mené par le môme point, sous la condition d’ôtre pcr|>endiculairc aux deux autres , se nomment les axes principaux du corps, pour le point dont il s’agit. Ces axes jouent en mécanique un rôle considérable , et jouissent de propriétés dont nous indiquerons tout à l’heure les plus importantes. Pour nous représenter nettement leurs situations respectires, imaginons que l’axe du plus grand moment d’inertie soit dirigé horizontalement suivant la ligne nord-sud, que l’axe du plus petit moment soit dirigé aussi horizontalement suivant la ligne qui va de l’est à l’ouest ; le troisième axe principal , que l’on peut nominei' l’axe principal moyen , sera dirigé verticalement de haut en bas.

192. — Quoique les moments d’inertie relatifs aux trois axes principaux soient en général inégaux, il peut arriver, d’après la forme particulière du corps , que deux de ces moments d’inertie , ou même tous trois, deviennent égaux entre eux. Si c’est le premier cas qui a lieu , tous les axes menés par le même point, dans le plan qui comprend les deux axes principaux dont les moments sont égaux entre eux, tous ces axes , disons-nous, auront leurs moments d’inertie égaux à ceux de ces deux axes principaux. Si les trois axes principaux ont leurs moments d’inertie égaux, tous les axes menés par le même point auront aussi le même moment d'inertie.

193. — Lorsque l’on connaît les moment d’inertie des trois axes principaux menés par le centre de gravité, ont peut calculer facilement, au moyen d’une formule que l’on trouvera dans les traités

AXES PRIXCIPAUX.

mathématiques , le moment d'inertie relatif à un axe mené aussi par le centre de gravité, mais dans une direction queiconque , et , par suite (art. 190), le moment d’inertie rclalif à un axe parallèle, qui passe en un point quelconque du corps. Le ericul des moments d’inertie se ramène donc en général à la détermination des moments d’inertie relatifs aux Irms axes principaux qui se coupent au centre de gravité.

194. — Cherchons maintenant à expliquer, autant qu’on peut y parvenir sans le secours du langage nalhématique , les effets des forces centrifuges et les pressions qu’elles font éprouver à l’axe de rotation (art. 183). II est clair que si des masses égales, liées invariablement entre elles , sont situées k des distances égales de Taxe de rotation , des deux côtés opposés de cet axe, leurs forces centrifuges • se seutraliseront mutuellement, et l’axe n’en éprouvera aucune pression ni aucune tendance à se déplacer; Far conséquent, si des {Articules matérielles de même masse sont uniformément di^rtbuées sur un cerdc dont le [dan soit perpendiculaire à l'axe de rotation , et qui ait s<m centre sur l’axe , toutes les forces centrifuges se neutraliseront deux à deux , et l’axe ne supportera encore aucune pression. Quand la masse animée d’un mouvemeirf de rotation fait éprouver à l’axe une pression provenant delà combinaison des forces centrifuges ,• cela ne peut avoirs lieu qu’autant que la masse est inégalement distribuée autour de l’axe. '

Dés lors , voici des cas oü l’on est sOr, d’sjitrés le

raisonnement précédent, que Taxe n’éprouve aucune pression due à la force centrifuge :

1 °. Celui d’une sphère dont la densité est la même pour tous les points situés à égaies distances du centre, et qui tourne autour de l’un de ses diamètres ;

2". Celui d’un cylindre ou d’un sphéroïde de révolution qui tourne autour de son axe de révolu- . lion , la densité étant la môme à égales distances de l’axe ;

3“. Celui d’un cube de densité uniforme qui tourne autour d’un axe mené par les points d’intersection des diagonales des deux bases opposées 5 4 °. Celui d’une plaque circulaire , d’épaisseur et de densité uniformes, qui tourne autour de l’un de ses diamètres.

195. — Dans tous ces exemples, on peut remarquer que l’axe de rotation passe par le centre de gravité. Ce n’est là qu’une application particulière d’une proposition générale dont voici l’énoncé : « Si le corps tourne autour de l’un des axes principaux qui passent par le centre de gravité , l’axe n’éprouvera aucune pression par suite des forces centrifuges qui naissent du mouvement de rotation ; et de plus, celte propriété appartient exclusivement aux axes principaux menés par le centre de gravité. »

Si deux des axes principaux menés par le centre de gravité ont leurs moments d’inertie égaux entre eux , tout autre axe mené dans leur plan , et passant aussi par le centre de gravité , aura le même moment d’inertie (art. 192), et pourra être considéré

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